广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
二、（10 分）。求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定可导的必要条件：连续性和左右导数相等
函数在 $x=0$ 处可导，必须满足两个条件：
1. 在 $x=0$ 处连续，即左极限等于右极限且等于函数值。
2. 左导数等于右导数。
提示：可导一定连续，但连续不一定可导，因此两个条件缺一不可。
步骤 2/6
目标：利用连续性条件求出 b
计算右极限：当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=ax+b$，故 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = a \cdot 0 + b = b$，且 $f(0)=b$。
计算左极限：当 $x < 0$ 时，$f(x)=x^2+1$，故 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 1 = 1$。
由连续性：$b = 1$。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \Rightarrow b = 1
提示：注意分段函数在分界点处的函数值由定义域包含该点的分支决定，这里 $x=0$ 属于 $x \geq 0$ 的分支。
步骤 3/6
目标：计算右导数
右导数定义为 $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
代入 $f(x)=ax+b$ 和 $f(0)=b=1$，得：
$$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax+b-b}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax}{x} = a$$
公式：f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax}{x} = a
提示：右导数只考虑 $x>0$ 的方向，分子中 $f(0)$ 必须用已求出的 $b=1$ 代入。
步骤 4/6
目标：计算左导数
左导数定义为 $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
代入 $f(x)=x^2+1$ 和 $f(0)=1$，得：
$$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+1-1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^-} x = 0$$
公式：f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} x = 0
提示：注意 $x \to 0^-$ 时 $x$ 是负数，但 $x^2/x = x$ 的极限仍然为 0。
步骤 5/6
目标：由可导条件得出 a 的值
可导要求左导数等于右导数，即 $f'_-(0) = f'_+(0)$。
由前两步得：$0 = a$，故 $a = 0$。
公式：f'_-(0) = f'_+(0) \Rightarrow 0 = a
提示：不要忘记连续性条件已经用于求 $b$，这里只需求 $a$。
步骤 6/6
目标：总结最终答案
综合以上步骤，使函数在 $x=0$ 处可导的 $a$ 和 $b$ 为：
$$a = 0, \quad b = 1$$
公式：\boxed{a=0,\ b=1}
提示：验证：此时 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且左右导数均为 0，故可导。
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