广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
五、（ 15 分）用＂$\displaystyle \varepsilon-\delta$＂语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的极限和ε-δ定义
我们要证明：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，有 $\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} - 0 \right| < \varepsilon$。
公式：$\lim_{x \to 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} = 0$
提示：注意极限定义中要求 $0 < |x-1|$，即 $x \neq 1$，但 $x=1$ 时表达式为 $0/ -2 = 0$，不影响极限。
步骤 2/6
目标：化简表达式，分离出因子 $|x-1|$
将绝对值表达式化简：$\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \right| = |x-1| \cdot \frac{|x-2|}{|x-3|}$。这样我们只需要控制 $|x-1|$ 和另一个因子的乘积。
公式：$\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \right| = |x-1| \cdot \frac{|x-2|}{|x-3|}$
提示：注意 $x-3$ 在 $x=1$ 附近不为零，分母有界。
步骤 3/6
目标：限制 $x$ 的范围，以便对 $\frac{|x-2|}{|x-3|}$ 进行放缩
先取 $|x-1| < \frac{1}{2}$，则 $x \in (0.5, 1.5)$。在此区间内：$|x-2| < 1.5$（因为 $x-2$ 在 $(-1.5, -0.5)$ 内），$|x-3| > 1.5$（因为 $x-3$ 在 $(-2.5, -1.5)$ 内），所以 $\frac{1}{|x-3|} < \frac{2}{3}$。
公式：$|x-2| < 1.5$，$\frac{1}{|x-3|} < \frac{2}{3}$
提示：放缩时注意分母取最小值，分子取最大值，得到上界。
步骤 4/6
目标：得到 $\frac{|x-2|}{|x-3|}$ 的上界
由上述放缩：$\frac{|x-2|}{|x-3|} < 1.5 \times \frac{2}{3} = 1$。因此当 $|x-1| < \frac{1}{2}$ 时，有 $\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \right| < |x-1|$。
公式：$\frac{|x-2|}{|x-3|} < 1$，从而 $\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \right| < |x-1|$
提示：这个放缩是关键的简化，将原式控制为 $|x-1|$。
步骤 5/6
目标：选择 $\delta$ 使得条件成立
要使 $\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \right| < \varepsilon$，只需 $|x-1| < \varepsilon$ 且同时满足之前的限制 $|x-1| < \frac{1}{2}$。因此取 $\delta = \min\left\{ \frac{1}{2}, \varepsilon \right\}$。
公式：$\delta = \min\left\{ \frac{1}{2}, \varepsilon \right\}$
提示：取最小值是为了同时满足两个条件，这是ε-δ证明的常用技巧。
步骤 6/6
目标：验证所选的 $\delta$ 满足定义
当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，有 $|x-1| < \frac{1}{2}$ 和 $|x-1| < \varepsilon$，从而 $\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \right| < |x-1| < \varepsilon$。由ε-δ定义，极限得证。
公式：$\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} - 0 \right| < \varepsilon$
提示：验证时注意 $x \neq 1$，但 $x=1$ 时表达式为0，不影响极限。
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