广西民族大学 2015年数学分析第0题

令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x \, dx$，且 $\cos^3 x = (1 - \sin^2 x) \cos x = (1 - t^2) \cos x$。于是被积表达式化为： $$\sin x \cos^3 x \, dx = t(1 - t^2) \, dt$$ 原积分变为： $$\int \frac{t(1 - t^2)}{1 + t^2} \, dt$$

将分子展开：$t(1 - t^2) = t - t^3$。做多项式除法： $$\frac{t - t^3}{1 + t^2} = -t + \frac{2t}{1 + t^2}$$ 因为 $t - t^3 = -t(1 + t^2) + 2t$。

对化简后的式子积分： $$\int \left(-t + \frac{2t}{1 + t^2}\right) dt = -\frac{t^2}{2} + \ln(1 + t^2) + C$$ 回代 $t = \sin x$ 得： $$-\frac{\sin^2 x}{2} + \ln(1 + \sin^2 x) + C$$

在区间 $[0,2]$ 上，$e^x$ 单调递增。计算 $e^x$ 取整数值变化的分界点： - $e^x = 1$ 时 $x=0$ - $e^x = 2$ 时 $x = \ln 2$ - $e^x = 3$ 时 $x = \ln 3$ - $e^x = 4$ 时 $x = \ln 4$ - $e^x = 5$ 时 $x = \ln 5$ - $e^x = 6$ 时 $x = \ln 6$ - $e^x = 7$ 时 $x = \ln 7$ - $x=2$ 时 $e^2 \approx 7.389$，故 $[e^x]=7$ 直到 $x=2$。 分段区间及函数值： $[0, \ln 2):1$，$[\ln 2, \ln 3):2$，$[\ln 3, \ln 4):3$，$[\ln 4, \ln 5):4$，$[\ln 5, \ln 6):5$，$[\ln 6, \ln 7):6$，$[\ln 7, 2]:7$。

积分等于各段长度乘以函数值之和： $$\int_0^2 [e^x] dx = 1 \cdot (\ln 2 - 0) + 2 \cdot (\ln 3 - \ln 2) + 3 \cdot (\ln 4 - \ln 3) + 4 \cdot (\ln 5 - \ln 4) + 5 \cdot (\ln 6 - \ln 5) + 6 \cdot (\ln 7 - \ln 6) + 7 \cdot (2 - \ln 7)$$ 合并同类对数项，利用 $\ln 4 = 2\ln 2$ 等，得： $$= 14 - 7\ln 7 + \sum_{k=1}^6 \ln\left(\frac{(k+1)^{k+1}}{k^k}\right)$$ 或等价地： $$= 14 - \ln\frac{7^7}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6}$$

令 $x = a\rho \sin\phi \cos\theta$, $y = b\rho \sin\phi \sin\theta$, $z = c\rho \cos\phi$，其中 $\rho \in [0,1]$, $\phi \in [0,\pi]$, $\theta \in [0,2\pi]$。雅可比行列式为 $|J| = abc \rho^2 \sin\phi$。被积函数化为： $$x^2 + y^2 + z^2 = a^2\rho^2\sin^2\phi\cos^2\theta + b^2\rho^2\sin^2\phi\sin^2\theta + c^2\rho^2\cos^2\phi$$

三重积分化为： $$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^1 (a^2\rho^2\sin^2\phi\cos^2\theta + b^2\rho^2\sin^2\phi\sin^2\theta + c^2\rho^2\cos^2\phi) \cdot abc \rho^2 \, d\rho$$ 分别计算三个部分。利用对称性： $$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta = \pi$$ $$\int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi = \frac{4}{3}, \quad \int_0^\pi \sin\phi \cos^2\phi \, d\phi = \frac{2}{3}$$ $$\int_0^1 \rho^4 \, d\rho = \frac{1}{5}$$

三个部分分别计算： - $a^2$ 项：$abc \cdot a^2 \cdot \int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta \cdot \int_0^\pi \sin^3\phi d\phi \cdot \int_0^1 \rho^4 d\rho = abc \cdot a^2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi a^3 bc}{15}$ - $b^2$ 项：类似得 $\frac{4\pi ab^3 c}{15}$ - $c^2$ 项：$abc \cdot c^2 \cdot \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \int_0^\pi \sin\phi \cos^2\phi d\phi \cdot \int_0^1 \rho^4 d\rho = abc \cdot c^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi abc^3}{15}$ 总和为： $$\frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2)$$