广西民族大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别极限类型
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt[3]{x+1}-1 \to 0$，分母 $\sqrt{x+1}-1 \to 0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
提示：注意检查分子分母是否同时趋于0，这是使用等价无穷小的前提。
步骤 2/6
目标：应用等价无穷小替换
利用等价无穷小：当 $t \to 0$ 时，$(1+t)^\alpha -1 \sim \alpha t$。令 $t=x$，则分子 $\sqrt[3]{1+x}-1 \sim \frac{1}{3}x$，分母 $\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{1}{2}x$。
公式：$(1+t)^\alpha -1 \sim \alpha t \quad (t \to 0)$
提示：注意 $\sqrt[3]{x+1} = (1+x)^{1/3}$，$\sqrt{x+1} = (1+x)^{1/2}$，不要混淆指数。
步骤 3/6
目标：计算极限值
代入等价无穷小，得 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x}{\frac{1}{2}x} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$。
公式：$\frac{\frac{1}{3}x}{\frac{1}{2}x} = \frac{2}{3}$
提示：约去 $x$ 时注意 $x \neq 0$，但极限过程 $x \to 0$ 不影响。
步骤 4/6
目标：识别第二题极限形式
极限 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} \right)$ 是无穷项求和，且每项分母含 $n$，可考虑黎曼和。
提示：注意求和项数为 $n$，且分母形式为 $n+k$，提示可提取 $\frac{1}{n}$。
步骤 5/6
目标：转化为黎曼和形式
将和式改写为 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$。当 $n \to \infty$ 时，这是函数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和（取右端点）。
公式：$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$
提示：注意 $\frac{1}{n+k} = \frac{1}{n(1 + k/n)}$，提取 $1/n$ 是关键步骤。
步骤 6/6
目标：计算定积分
极限等于定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \ln 2$。
公式：$\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln 2$
提示：积分时注意 $\frac{1}{1+x}$ 的原函数是 $\ln(1+x)$，代入上下限要小心。
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