📝 广西民族大学 2016年数学分析真题
第0题
一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
第0题
七、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(\mathrm{cy}-\mathrm{bz}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}+(\mathrm{az}-\mathrm{cx}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为常数。
$$
(\mathrm{cy}-\mathrm{bz}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}+(\mathrm{az}-\mathrm{cx}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为常数。
第0题
三、（15 分）计算抛物线：$\displaystyle y^{2}=2 x, y^{2}=x$ 和直线 $\displaystyle y=2 x, y=x$ 所围图形的面积．
第0题
九、（10 分）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 D 上连续，且在 D 内任意子区域 $G$ 上有 $\displaystyle \iint_{G} f(x, y) d \sigma=0$ 。
则在 D 上有 $\displaystyle f(x, y) \equiv 0$ ．
则在 D 上有 $\displaystyle f(x, y) \equiv 0$ ．
第0题
二、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论函数的连续性和可微性．
第0题
五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。
第0题
八、（ 15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 可微，若 $\displaystyle f(x)$ 满足下列方程
$$
f(x)=1+\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) d t
$$
试求 $\displaystyle f(x)$ 。
$$
f(x)=1+\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) d t
$$
试求 $\displaystyle f(x)$ 。
第0题
六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2）求 $\displaystyle \iint_{\mathrm{S}} \frac{d S}{z}$ ，其中 S 是球面 $\displaystyle \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{h}(0<\mathrm{h}<a)$ 所截的顶部。
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2）求 $\displaystyle \iint_{\mathrm{S}} \frac{d S}{z}$ ，其中 S 是球面 $\displaystyle \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{h}(0<\mathrm{h}<a)$ 所截的顶部。
第0题
四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, x+y+z=0$ 在点（1，－2，1）处的切线方程和法平面方程．