广西民族大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(\mathrm{cy}-\mathrm{bz}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}+(\mathrm{az}-\mathrm{cx}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为常数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出已知条件并构造隐函数
已知方程为 $a x + b y + c z = \phi(x^2 + y^2 + z^2)$，其中 $\phi$ 是可微函数，$a,b,c$ 为常数，且由该方程确定了隐函数 $z = z(x,y)$。我们记 $F(x,y,z) = a x + b y + c z - \phi(x^2 + y^2 + z^2) = 0$。
公式：F(x,y,z) = a x + b y + c z - \phi(x^2 + y^2 + z^2) = 0
提示：注意隐函数存在的前提是 $F_z \neq 0$，即 $c - 2z\phi' \neq 0$。
步骤 2/7
目标：计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$
由隐函数定理，$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$。计算各偏导：$F_x = a - 2x\phi'$，$F_y = b - 2y\phi'$，$F_z = c - 2z\phi'$，其中 $\phi' = \phi'(x^2+y^2+z^2)$。因此 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{a - 2x\phi'}{c - 2z\phi'}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{b - 2y\phi'}{c - 2z\phi'}$。
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{a - 2x\phi'}{c - 2z\phi'}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{b - 2y\phi'}{c - 2z\phi'}
提示：求导时注意 $\phi$ 的复合函数求导，链式法则易漏掉因子2。
步骤 3/7
目标：代入要证明的等式左边并提取公因子
要证明 $(cy - bz) \frac{\partial z}{\partial x} + (az - cx) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y$。将偏导代入左边：左边 $= (cy - bz) \cdot \left( -\frac{a - 2x\phi'}{c - 2z\phi'} \right) + (az - cx) \cdot \left( -\frac{b - 2y\phi'}{c - 2z\phi'} \right) = -\frac{1}{c - 2z\phi'} \left[ (cy - bz)(a - 2x\phi') + (az - cx)(b - 2y\phi') \right]$。
公式：\text{左边} = -\frac{1}{c - 2z\phi'} \left[ (cy - bz)(a - 2x\phi') + (az - cx)(b - 2y\phi') \right]
提示：提取公因子时注意符号，避免出错。
步骤 4/7
目标：展开括号并合并常数项
展开：$(cy - bz)(a - 2x\phi') = a(cy - bz) - 2x\phi'(cy - bz)$，$(az - cx)(b - 2y\phi') = b(az - cx) - 2y\phi'(az - cx)$。常数项部分相加：$a(cy - bz) + b(az - cx) = acy - abz + abz - bcx = acy - bcx$。
公式：acy - bcx = c(ay - bx)
提示：注意 $-abz$ 和 $+abz$ 相互抵消，这是化简的关键。
步骤 5/7
目标：合并含 $\phi'$ 的项并化简
含 $\phi'$ 的项：$-2x\phi'(cy - bz) - 2y\phi'(az - cx) = -2\phi' \left[ x(cy - bz) + y(az - cx) \right]$。展开内部：$xcy - xbz + yaz - ycx = cxy - bzx + ayz - cxy = z(ay - bx)$。因此含 $\phi'$ 的项为 $-2\phi' \cdot z(ay - bx) = 2\phi' z (bx - ay)$。
公式：x(cy - bz) + y(az - cx) = z(ay - bx)
提示：注意 $xcy$ 和 $ycx$ 抵消，剩下项提取公因子 $z$。
步骤 6/7
目标：合并整个中括号并化简左边表达式
中括号内为：$(acy - bcx) + 2\phi' z (bx - ay) = -c(bx - ay) + 2\phi' z (bx - ay) = (bx - ay)(2\phi' z - c)$。因此左边 $= -\frac{1}{c - 2z\phi'} \cdot (bx - ay)(2\phi' z - c)$。由于 $2\phi' z - c = -(c - 2z\phi')$，所以左边 $= -\frac{1}{c - 2z\phi'} \cdot (bx - ay) \cdot [-(c - 2z\phi')] = bx - ay$。
公式：\text{左边} = bx - ay
提示：注意 $c - 2z\phi'$ 与 $2\phi' z - c$ 互为相反数，约分时注意符号。
步骤 7/7
目标：得出结论
左边等于右边 $bx - ay$，因此原方程成立，证毕。
公式：(cy - bz) \frac{\partial z}{\partial x} + (az - cx) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y
提示：验证时确保每一步化简无误，尤其是符号处理。
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