广西民族大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, x+y+z=0$ 在点（1，－2，1）处的切线方程和法平面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲线形式并验证点是否在曲线上
曲线由方程组 $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 6, \\ x + y + z = 0 \end{cases}$ 确定。将点 $(1, -2, 1)$ 代入验证：第一个方程 $1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ 成立；第二个方程 $1 + (-2) + 1 = 0$ 成立。因此该点在曲线上。
公式：$x^2 + y^2 + z^2 = 6$, $x + y + z = 0$
提示：验证点是解题的第一步，确保后续计算基于正确的点。
步骤 2/5
目标：求两个曲面的法向量
对于球面 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 6 = 0$，梯度为 $\nabla F = (2x, 2y, 2z)$。在点 $(1, -2, 1)$ 处，法向量为 $\mathbf{n}_1 = (2, -4, 2)$，可约去公因子2，取 $(1, -2, 1)$。对于平面 $G(x,y,z) = x + y + z = 0$，梯度为 $\nabla G = (1, 1, 1)$，法向量为 $\mathbf{n}_2 = (1, 1, 1)$。
公式：$\nabla F = (2x, 2y, 2z)$, $\nabla G = (1, 1, 1)$
提示：注意梯度方向是曲面的法向量，平面法向量可直接由系数得到。
步骤 3/5
目标：计算切向量（叉积）
曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 同时垂直于两个法向量，因此 $\mathbf{T} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$。计算叉积：$\mathbf{T} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)\cdot 1 - 1\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - (-2)\cdot 1) = (-3, 0, 3)$。可约去公因子3，取方向向量为 $(-1, 0, 1)$ 或 $(1, 0, -1)$。
公式：$\mathbf{T} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (-3, 0, 3)$
提示：叉积计算时注意符号，尤其是 $j$ 分量前的负号。约去公因子不影响方向。
步骤 4/5
目标：写出切线方程
过点 $(1, -2, 1)$，方向向量取 $(-1, 0, 1)$，则切线参数方程为 $\begin{cases} x = 1 - t, \\ y = -2, \\ z = 1 + t \end{cases}$。对称式方程为 $\frac{x-1}{-1} = \frac{z-1}{1}, \quad y = -2$。
公式：$\frac{x-1}{-1} = \frac{z-1}{1}, y = -2$
提示：当方向向量某个分量为0时，对应变量为常数，对称式需单独写出。
步骤 5/5
目标：写出法平面方程
法平面以切向量为法向量，即法向量为 $(-1, 0, 1)$。过点 $(1, -2, 1)$ 的法平面方程为 $(-1)(x-1) + 0\cdot(y+2) + 1\cdot(z-1) = 0$，化简得 $-(x-1) + (z-1) = 0$，即 $-x + 1 + z - 1 = 0$，最终得 $z - x = 0$ 或 $x = z$。
公式：$x - z = 0$
提示：法平面方程中，法向量与切向量相同，注意点法式的正确使用。
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