广西民族大学 2016年数学分析第0题

设椭圆上任意一点为 $(x, y, z)$，原点到该点的距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。该点需满足两个约束条件： 1. 在旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 上； 2. 在平面 $x + y + z = 1$ 上。 因此，问题转化为在约束条件 $z = x^2 + y^2$ 和 $x + y + z = 1$ 下求 $d^2$ 的极值。

引入两个拉格朗日乘数 $\lambda$ 和 $\mu$，构造拉格朗日函数： $$F(x, y, z, \lambda, \mu) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x^2 + y^2 - z) + \mu (x + y + z - 1)$$ 分别对 $x, y, z$ 求偏导并令其为零： $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 2\lambda x + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(1+\lambda) + \mu = 0 \tag{1}$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y + 2\lambda y + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y(1+\lambda) + \mu = 0 \tag{2}$$ $$\frac{\partial F}{\partial z} = 2z - \lambda + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2z - \lambda + \mu = 0 \tag{3}$$

由 (1) 和 (2) 相减得：$2(1+\lambda)(x-y) = 0$，因此有两种情况： - 情况1：$\lambda = -1$ - 情况2：$x = y$ 先考虑情况1：$\lambda = -1$，代入 (1) 得 $\mu = 0$，再代入 (3) 得 $2z + 1 = 0$，即 $z = -\frac12$。但由约束 $z = x^2 + y^2 \ge 0$，矛盾，故情况1无解。 因此只有情况2：$x = y$。

设 $x = y = t$，由抛物面方程得 $z = t^2 + t^2 = 2t^2$。代入平面方程 $x + y + z = 1$： $$t + t + 2t^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2t^2 + 2t - 1 = 0$$ 解得： $$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$$ 因此得到两个候选点： - 点1：$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$，$z_1 = 2t_1^2 = 2 - \sqrt{3}$ - 点2：$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$，$z_2 = 2t_2^2 = 2 + \sqrt{3}$

距离平方 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 2t^2 + z^2$。 对于点1：$t_1^2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$，$z_1 = 2 - \sqrt{3}$，则 $$d_1^2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 9 - 5\sqrt{3}$$ 对于点2：$t_2^2 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$，$z_2 = 2 + \sqrt{3}$，则 $$d_2^2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 9 + 5\sqrt{3}$$

由于 $9 + 5\sqrt{3} > 9 - 5\sqrt{3}$，因此： - 最长距离为 $\sqrt{9 + 5\sqrt{3}}$ - 最短距离为 $\sqrt{9 - 5\sqrt{3}}$ 这两个表达式已是最简形式，无需进一步化简。