广西民族大学 2016年数学分析第0题

我们需要判断极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否等于 $f(0,0)=0$。对于 $(x,y)\neq(0,0)$，有 $f(x,y)=\frac{x^2 y}{\sqrt{x^4+y^2}}$。利用不等式 $|y| \le \sqrt{x^4+y^2}$，可得 $|f(x,y)| = \frac{x^2 |y|}{\sqrt{x^4+y^2}} \le \frac{x^2 \sqrt{x^4+y^2}}{\sqrt{x^4+y^2}} = x^2$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$x^2\to 0$，由夹逼定理知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} |f(x,y)| = 0$，即 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，因此函数在原点连续。

按偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$；$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0$。因此两个一阶偏导数都存在且为0。

函数在原点可微的充要条件是：$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入 $f(0,0)=0$ 及偏导数为0，得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。其中 $\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\frac{h^2 k}{\sqrt{h^4+k^2}\cdot\sqrt{h^2+k^2}}$。

考虑路径 $k = h^2$，则分子为 $h^4$，分母为 $\sqrt{h^4+h^4}\cdot\sqrt{h^2+h^4}=\sqrt{2}h^2\cdot|h|\sqrt{1+h^2}$，比值为 $\frac{h^4}{\sqrt{2}h^2|h|\sqrt{1+h^2}}=\frac{|h|}{\sqrt{2}\sqrt{1+h^2}}\to 0$。再考虑路径 $k = h$，分子为 $h^3$，分母为 $\sqrt{h^4+h^2}\cdot\sqrt{2h^2}=|h|\sqrt{h^2+1}\cdot\sqrt{2}|h|=\sqrt{2}h^2\sqrt{h^2+1}$，比值为 $\frac{h}{\sqrt{2}\sqrt{h^2+1}}\to 0$。进一步，对任意常数 $m$，路径 $k=mh^2$ 也得到极限0。但需注意更精细的分析：利用放缩 $|f(h,k)|\le \min\{|k|, h^2\}$，则 $\frac{|f|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{\min\{|k|, h^2\}}{\sqrt{h^2+k^2}}$。当 $|k|\le h^2$ 时，$\frac{|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{h^2}{|h|}=|h|\to 0$；当 $|k|\ge h^2$ 时，$\frac{h^2}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{h^2}{|k|}\le 1$，但此时可进一步用 $\frac{h^2}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{h^2}{\sqrt{2|k|h}}?$ 实际上，更严谨的放缩为：$\frac{\min\{|k|, h^2\}}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{\sqrt{|k|}h}{\sqrt{h^2+k^2}}$，而 $\frac{\sqrt{|k|}h}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{\sqrt{|k|}h}{\sqrt{2|k|h}} = \sqrt{\frac{h}{2}} \to 0$（当 $h,k\to 0$ 时）。因此极限为0，函数在原点可微。