广西民族大学 2016年数学分析第0题

分别联立抛物线与直线方程： 1. $y^2 = x$ 与 $y = x$：代入得 $x^2 = x \Rightarrow x(x-1)=0$，解得 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。 2. $y^2 = x$ 与 $y = 2x$：代入得 $(2x)^2 = x \Rightarrow 4x^2 = x \Rightarrow x(4x-1)=0$，解得 $(0,0)$ 和 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$。 3. $y^2 = 2x$ 与 $y = x$：代入得 $x^2 = 2x \Rightarrow x(x-2)=0$，解得 $(0,0)$ 和 $(2,2)$。 4. $y^2 = 2x$ 与 $y = 2x$：代入得 $(2x)^2 = 2x \Rightarrow 4x^2 = 2x \Rightarrow 2x(2x-1)=0$，解得 $(0,0)$ 和 $(\frac{1}{2}, 1)$。

将曲线改写为 $x$ 关于 $y$ 的函数： - 抛物线：$x = y^2$（较窄）和 $x = \frac{y^2}{2}$（较宽）。 - 直线：$x = y$（斜率1）和 $x = \frac{y}{2}$（斜率2）。 由于所有曲线均以 $y$ 为自变量时表达式简单，且区域在 $y$ 方向连续，选择对 $y$ 积分。 观察交点可知，封闭区域由以下四段围成： - 从 $(0,0)$ 沿 $x = y^2/2$ 到 $(1/2,1)$； - 从 $(1/2,1)$ 沿 $x = y$ 到 $(1,1)$； - 从 $(1,1)$ 沿 $x = y^2$ 到 $(1/4,1/2)$； - 从 $(1/4,1/2)$ 沿 $x = y/2$ 回到 $(0,0)$。

将 $y$ 区间分为两段： **第一段**：$y \in [0, \frac{1}{2}]$。 比较 $y^2$ 与 $\frac{y}{2}$：当 $y \le \frac{1}{2}$ 时，$y^2 \le \frac{y}{2}$，因此从左到右顺序为：$x = \frac{y^2}{2}$（最左），$x = y^2$，$x = \frac{y}{2}$，$x = y$（最右）。 区域的左边界为 $x = \frac{y^2}{2}$，右边界为 $x = y$。 宽度：$y - \frac{y^2}{2}$。 面积微元：$\left(y - \frac{y^2}{2}\right) dy$。 积分：$\int_0^{1/2} \left(y - \frac{y^2}{2}\right) dy$。 **第二段**：$y \in [\frac{1}{2}, 1]$。 此时 $y^2 > \frac{y}{2}$，顺序变为：$x = \frac{y^2}{2}$（最左），$x = \frac{y}{2}$，$x = y^2$，$x = y$（最右）。 区域的左边界仍为 $x = \frac{y^2}{2}$，右边界仍为 $x = y$（因为 $y^2$ 和 $y/2$ 均位于两者之间）。 宽度：$y - \frac{y^2}{2}$。 积分：$\int_{1/2}^1 \left(y - \frac{y^2}{2}\right) dy$。

计算定积分： $\int \left(y - \frac{y^2}{2}\right) dy = \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6}$。 代入上下限： $\left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6}\right]_0^{1/2} = \left(\frac{(1/2)^2}{2} - \frac{(1/2)^3}{6}\right) - 0 = \frac{1}{8} - \frac{1}{48} = \frac{6}{48} - \frac{1}{48} = \frac{5}{48}$。 $\left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6}\right]_{1/2}^1 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) - \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{48}\right) = \frac{1}{3} - \frac{5}{48} = \frac{16}{48} - \frac{5}{48} = \frac{11}{48}$。 总面积：$\frac{5}{48} + \frac{11}{48} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$。