广西民族大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2）求 $\displaystyle \iint_{\mathrm{S}} \frac{d S}{z}$ ，其中 S 是球面 $\displaystyle \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{h}(0<\mathrm{h}<a)$ 所截的顶部。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对第一题进行变量代换，化为有理函数积分
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x \, dx$。分子 $\sin x \cos^3 x = t \cos^2 x \cdot \cos x = t(1 - t^2) \cos x$，因此原积分化为 $\int \frac{t(1 - t^2)}{1 + t^2} \, dt$。
公式：$t = \sin x$, $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$
提示：注意 $\cos^3 x$ 要拆出一个 $\cos x$ 与 $dx$ 凑微分，剩余部分用 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ 代换。
步骤 2/6
目标：化简被积函数并积分
将 $\frac{t(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{t - t^3}{1+t^2}$ 进行多项式除法：$t - t^3 = -t(1+t^2) + 2t$，所以 $\frac{t - t^3}{1+t^2} = -t + \frac{2t}{1+t^2}$。积分得 $\int (-t) \, dt + \int \frac{2t}{1+t^2} \, dt = -\frac{t^2}{2} + \ln(1+t^2) + C$。
公式：$\int \frac{2t}{1+t^2} dt = \ln(1+t^2)$
提示：多项式除法要准确，注意符号；$\frac{2t}{1+t^2}$ 的积分是典型的对数形式。
步骤 3/6
目标：回代变量，得到第一题结果
将 $t = \sin x$ 代回，得 $\int \frac{\sin x \cos^3 x}{1+\sin^2 x} dx = -\frac{\sin^2 x}{2} + \ln(1+\sin^2 x) + C$。
公式：回代 $t = \sin x$
提示：结果中 $\ln(1+\sin^2 x)$ 的括号不能省略，避免歧义。
步骤 4/6
目标：确定第二题的曲面方程与投影区域
球面顶部 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，被平面 $z = h$ 所截，投影到 $xy$ 平面为圆盘 $x^2 + y^2 \le a^2 - h^2$。
公式：$z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，投影区域 $x^2 + y^2 \le a^2 - h^2$
提示：注意 $0 < h < a$，投影半径 $\sqrt{a^2 - h^2}$ 为正。
步骤 5/6
目标：计算曲面的面积元并化简被积函数
对于 $z = f(x,y) = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，有 $f_x = \frac{-x}{z}$，$f_y = \frac{-y}{z}$，则 $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + \frac{x^2+y^2}{a^2 - x^2 - y^2} = \frac{a^2}{a^2 - x^2 - y^2}$，所以 $dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dxdy$。被积函数 $\frac{1}{z} dS = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dxdy = \frac{a}{a^2 - x^2 - y^2} \, dxdy$。
公式：$dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dxdy$，$\frac{1}{z} dS = \frac{a}{a^2 - x^2 - y^2} \, dxdy$
提示：计算 $1+f_x^2+f_y^2$ 时要通分，注意 $z^2 = a^2 - x^2 - y^2$。
步骤 6/6
目标：化为极坐标并计算积分
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $dxdy = r \, dr d\theta$，$r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{a^2 - h^2}$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。积分化为 $\iint_S \frac{dS}{z} = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{a^2 - h^2}} \frac{a}{a^2 - r^2} \cdot r \, dr$。计算内层积分：令 $u = a^2 - r^2$，$du = -2r dr$，得 $\int_0^{\sqrt{a^2 - h^2}} \frac{a r}{a^2 - r^2} dr = -\frac{a}{2} \int_{a^2}^{h^2} \frac{du}{u} = -\frac{a}{2} \ln\frac{h^2}{a^2} = a \ln\frac{a}{h}$。再乘外层 $2\pi$，得 $2\pi a \ln\frac{a}{h}$。
公式：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，$\int \frac{a r}{a^2 - r^2} dr = a \ln\frac{a}{h}$
提示：换元时注意积分限的变化：$r=0$ 对应 $u=a^2$，$r=\sqrt{a^2-h^2}$ 对应 $u=h^2$；对数化简时 $\ln h^2 - \ln a^2 = 2\ln(h/a)$。
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