广西民族大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
九、（10 分）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 D 上连续，且在 D 内任意子区域 $G$ 上有 $\displaystyle \iint_{G} f(x, y) d \sigma=0$ 。
则在 D 上有 $\displaystyle f(x, y) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设存在非零点，利用反证法
假设存在一点 $(x_0, y_0) \in D$，使得 $f(x_0, y_0) \neq 0$。不妨设 $f(x_0, y_0) > 0$（若小于零，可考虑 $-f$，同理可证）。
公式：f(x_0, y_0) > 0
提示：注意反证法的起点：假设结论不成立，即存在点函数值不为零。
步骤 2/5
目标：利用连续函数的局部保号性
由于 $f$ 在 $D$ 上连续，由连续函数的局部保号性，存在 $\delta > 0$，使得当 $(x, y) \in U(P_0, \delta) \cap D$ 时，有 $f(x, y) > \frac{f(x_0, y_0)}{2} > 0$。其中 $U(P_0, \delta)$ 是以 $P_0$ 为中心、半径为 $\delta$ 的开圆盘。
公式：f(x, y) > \frac{f(x_0, y_0)}{2} > 0
提示：保号性需要保证邻域完全在定义域内，若点在边界上需取交集，但依然可构造有内点的子区域。
步骤 3/5
目标：构造一个子区域 G
取一个完全包含在上述邻域内的子区域 $G$，例如以 $P_0$ 为中心、半径为 $\delta/2$ 的小圆盘（或小正方形），并确保 $G \subset D$。由于 $D$ 是闭区域，这样的 $G$ 存在且面积 $S(G) > 0$。
公式：G \subset U(P_0, \delta) \cap D, \quad S(G) > 0
提示：子区域必须完全包含在保号邻域内，且具有正面积，以保证积分严格为正。
步骤 4/5
目标：计算子区域 G 上的积分并导出矛盾
在 $G$ 上，$f(x, y) > 0$ 且连续，故存在最小值 $m = \min_{(x,y) \in G} f(x, y) > 0$。于是有：
$$
\iint_G f(x, y) \, d\sigma \ge m \cdot S(G) > 0.
$$
这与题设条件“对任意子区域 $G$ 有 $\iint_G f(x, y) \, d\sigma = 0$”矛盾。
公式：\iint_G f(x, y) \, d\sigma \ge m \cdot S(G) > 0
提示：注意连续函数在闭区域上必有最小值，且最小值大于零是积分严格为正的关键。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此假设不成立，对任意 $(x, y) \in D$，必须有 $f(x, y) = 0$，即 $f(x, y) \equiv 0$ 在 $D$ 上成立。
公式：f(x, y) \equiv 0, \quad \forall (x, y) \in D
提示：反证法完成，结论得证。
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