广西民族大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
八、（ 15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 可微，若 $\displaystyle f(x)$ 满足下列方程
$$
f(x)=1+\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) d t
$$
试求 $\displaystyle f(x)$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将积分方程转化为更易处理的形式
原方程为 $f(x)=1+\frac{1}{x}\int_{1}^{x}f(t)dt$，两边同时乘以 $x$（$x>0$），得到：
$$x f(x) = x + \int_{1}^{x} f(t) dt$$
公式：$$x f(x) = x + \int_{1}^{x} f(t) dt$$
提示：乘以 $x$ 是为了消去分母，使后续求导更方便，注意 $x>0$ 保证乘法合法。
步骤 2/6
目标：两边对 $x$ 求导，得到微分方程
对等式 $x f(x) = x + \int_{1}^{x} f(t) dt$ 两边关于 $x$ 求导。左边使用乘积法则：$\frac{d}{dx}[x f(x)] = f(x) + x f'(x)$。右边第一项导数为 $1$，第二项是变上限积分，导数为 $f(x)$。因此：
$$f(x) + x f'(x) = 1 + f(x)$$
公式：$$f(x) + x f'(x) = 1 + f(x)$$
提示：变上限积分 $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} g(t) dt = g(x)$，不要忘记这个基本定理。
步骤 3/6
目标：化简微分方程
将上一步等式两边同时减去 $f(x)$，得到：
$$x f'(x) = 1$$
公式：$$x f'(x) = 1$$
提示：化简时注意 $f(x)$ 项抵消，这是关键简化步骤。
步骤 4/6
目标：解微分方程，得到通解
由 $x f'(x) = 1$ 得 $f'(x) = \frac{1}{x}$。对 $x>0$ 积分：
$$f(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：$$f(x) = \ln x + C$$
提示：积分时注意定义域 $x>0$，不需要加绝对值。
步骤 5/6
目标：利用原方程确定常数 $C$
将 $f(x) = \ln x + C$ 代入原方程 $f(x)=1+\frac{1}{x}\int_{1}^{x} f(t) dt$。先计算积分：
$$\int_{1}^{x} (\ln t + C) dt = \int_{1}^{x} \ln t \, dt + C(x-1)$$
而 $\int \ln t \, dt = t\ln t - t$，所以
$$\int_{1}^{x} \ln t \, dt = (x\ln x - x) - (1\cdot \ln 1 - 1) = x\ln x - x + 1$$
因此
$$\int_{1}^{x} (\ln t + C) dt = x\ln x - x + 1 + C(x-1)$$
代入原方程右边：
$$1 + \frac{1}{x}[x\ln x - x + 1 + C(x-1)] = 1 + \ln x - 1 + \frac{1}{x} + C - \frac{C}{x} = \ln x + C + \frac{1-C}{x}$$
左边为 $\ln x + C$，两边相等要求 $\frac{1-C}{x}=0$ 对所有 $x>0$ 成立，故 $1-C=0$，即 $C=1$。
公式：$$\ln x + C = \ln x + C + \frac{1-C}{x} \Rightarrow C=1$$
提示：代入验证时，积分计算要仔细，特别是 $\int \ln t dt$ 的结果和定积分的上下限代入。
步骤 6/6
目标：得出最终函数并验证
由 $C=1$ 得 $f(x)=\ln x + 1$。快速验证：右边 $=1+\frac{1}{x}\int_{1}^{x}(\ln t+1)dt$，积分 $\int_{1}^{x}(\ln t+1)dt = (x\ln x - x + 1) + (x-1) = x\ln x$，所以右边 $=1+\frac{1}{x}\cdot x\ln x = 1+\ln x$，与左边一致。
公式：$$f(x)=\ln x+1$$
提示：验证是确保解正确的重要步骤，可以避免常数计算错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。