广西民族大学 2017年数学分析第0题

当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{x+1}-1 \to 0$，分母 $\sqrt[3]{x+1}-1 \to 0$，为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。令 $t = x+1$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 1$，原式化为 $\displaystyle \lim_{t \to 1} \frac{t^{1/2} - 1}{t^{1/3} - 1}$。

当 $u \to 1$ 时，有等价无穷小 $u^\alpha - 1 \sim \alpha (u-1)$。因此 $t^{1/2} - 1 \sim \frac{1}{2}(t-1)$，$t^{1/3} - 1 \sim \frac{1}{3}(t-1)$。代入极限式得 $\displaystyle \lim_{t \to 1} \frac{\frac{1}{2}(t-1)}{\frac{1}{3}(t-1)}$。

约去 $(t-1)$ 后得 $\displaystyle \frac{1/2}{1/3} = \frac{3}{2}$。

当 $x \to 1$ 时，$1-x^m \to 0$，$1-x^n \to 0$，为 $\infty - \infty$ 型。通分得 $\displaystyle \frac{m}{1-x^m} - \frac{n}{1-x^n} = \frac{m(1-x^n) - n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}$。分子化简为 $(m-n) + n x^m - m x^n$。

令 $x = 1 + h$，$h \to 0$。则 $1 - x^m = 1 - (1+h)^m \sim -m h$，同理 $1 - x^n \sim -n h$，故分母 $(1-x^m)(1-x^n) \sim mn h^2$。分子中，$(1+h)^m = 1 + m h + \frac{m(m-1)}{2} h^2 + o(h^2)$，$(1+h)^n = 1 + n h + \frac{n(n-1)}{2} h^2 + o(h^2)$。代入分子 $(m-n) + n(1+h)^m - m(1+h)^n$，计算得常数项和一次项均为0，二次项为 $\frac{mn}{2}(m-n)h^2$。

分子 $\sim \frac{mn}{2}(m-n)h^2$，分母 $\sim mn h^2$，因此极限为 $\displaystyle \frac{\frac{mn}{2}(m-n)h^2}{mn h^2} = \frac{m-n}{2}$。