📝 广西民族大学 2017年数学分析真题

一、求下列极限（每小题10分，共20分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)$（ $\displaystyle m, n$ 为自然数）。

七、（15 分）设 $\displaystyle F(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $F$ 为二次可微三元函数，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．

三、（15 分）用＂$\displaystyle \varepsilon-\delta$＂语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3}=0$ ．

九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可微．则：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
f(a)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(b)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) .
$$

二、（15 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{array}\right.$

五、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三点， 0 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，求最大体积．

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}(x-t) f(t) d t, x \in[a, b]$ ，试求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)$ ．

六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ 所围成。

四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0,2 x-3 y+5 z-4=0$ 在点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）处的切线方程和法平面方程．