广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）用＂$\displaystyle \varepsilon-\delta$＂语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的极限和ε-δ定义
我们要证明：$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} = 0$。根据 $\varepsilon-\delta$ 定义，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，需要找到一个 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，有 $\left| \frac{(x-2)(x-1)}{x-3} - 0 \right| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 0<|x-1|<\delta \Rightarrow \left|\frac{(x-2)(x-1)}{x-3}\right| < \varepsilon$
提示：注意极限值为0，所以绝对值直接是函数值的绝对值。
步骤 2/5
目标：对自变量x进行初步范围限制
因为 $x$ 趋近于1，我们可以先假设 $x$ 在1附近的一个小邻域内，例如限制 $|x-1| < \frac{1}{2}$。此时 $x$ 的取值范围是 $(0.5, 1.5)$，显然 $x \neq 3$，函数定义良好。
公式：$|x-1| < \frac{1}{2} \Rightarrow x \in (0.5, 1.5)$
提示：这种先限定一个范围是ε-δ证明中常用的技巧，目的是为了对分母和分子进行放缩。
步骤 3/5
目标：对分母进行放缩估计
当 $|x-1| < \frac{1}{2}$ 时，$x-3$ 的范围是 $(-2.5, -1.5)$，其绝对值的最小值为 $1.5$，因此 $|x-3| > 1.5$，从而 $\frac{1}{|x-3|} < \frac{2}{3}$。
公式：$|x-3| > 1.5 \Rightarrow \frac{1}{|x-3|} < \frac{2}{3}$
提示：分母的绝对值有下界，这是放缩的关键。
步骤 4/5
目标：对分子进行放缩估计
分子为 $|x-2| \cdot |x-1|$。当 $x \in (0.5, 1.5)$ 时，$|x-2|$ 的最大值出现在 $x=0.5$ 处，值为 $1.5$，所以 $|x-2| \le 1.5$。于是 $|f(x)| = \frac{|x-2| \cdot |x-1|}{|x-3|} < 1.5 \cdot |x-1| \cdot \frac{2}{3} = |x-1|$。
公式：$|f(x)| < |x-1|$（当 $|x-1| < \frac{1}{2}$ 时）
提示：这里得到了一个简洁的线性上界，便于后续选择δ。
步骤 5/5
目标：选择合适的δ并完成证明
要使 $|f(x)| < \varepsilon$，由 $|f(x)| < |x-1|$ 可知，只需 $|x-1| < \varepsilon$ 且同时满足之前限定的 $|x-1| < \frac{1}{2}$。因此取 $\delta = \min\left\{\frac{1}{2}, \varepsilon\right\}$。验证：对任意 $\varepsilon > 0$，取此 $\delta$，当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，首先有 $|x-1| < \frac{1}{2}$，从而 $|f(x)| < |x-1| < \delta \le \varepsilon$，证毕。
公式：$\delta = \min\left\{\frac{1}{2}, \varepsilon\right\}$
提示：δ必须同时满足两个条件，所以取最小值。注意不要忘记初始范围限制。
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