广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0,2 x-3 y+5 z-4=0$ 在点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）处的切线方程和法平面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证点是否在曲线上
将点 $(1,1,1)$ 代入第一个方程 $x^2+y^2+z^2-3x=0$，得 $1+1+1-3=0$，成立；代入第二个方程 $2x-3y+5z-4=0$，得 $2-3+5-4=0$，成立。因此点 $(1,1,1)$ 在曲线上。
提示：代入验证是解题的第一步，确保点满足所有方程，否则后续计算无意义。
步骤 2/5
目标：求两个曲面在点处的法向量
设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3x$，则梯度 $\nabla F=(2x-3,2y,2z)$。在点 $(1,1,1)$ 处，$\nabla F(1,1,1)=(-1,2,2)$。
设 $G(x,y,z)=2x-3y+5z-4$，则梯度 $\nabla G=(2,-3,5)$（常数）。
公式：$\nabla F=(2x-3,2y,2z)$，$\nabla G=(2,-3,5)$
提示：注意第一个曲面是隐式方程，梯度即为法向量；第二个是平面，法向量直接由系数得到。
步骤 3/5
目标：计算切向量（叉积）
曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 同时垂直于两个法向量，故取叉积：
$\mathbf{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}$
计算各分量：
第一分量：$2 \times 5 - 2 \times (-3) = 10 + 6 = 16$
第二分量：$2 \times 2 - (-1) \times 5 = 4 + 5 = 9$
第三分量：$(-1) \times (-3) - 2 \times 2 = 3 - 4 = -1$
故 $\mathbf{T} = (16, 9, -1)$。
公式：$\mathbf{T} = \nabla F \times \nabla G = (16,9,-1)$
提示：叉积计算时注意符号，第二分量是 $a_3b_1 - a_1b_3$，不要漏掉负号。
步骤 4/5
目标：写出切线方程
切线过点 $(1,1,1)$，方向向量为 $(16,9,-1)$，对称式方程为：
$\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}$。
公式：$\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}$
提示：分母为方向向量的分量，若分量为0则需单独处理，此处均非零。
步骤 5/5
目标：写出法平面方程
法平面以切向量 $(16,9,-1)$ 为法向量，过点 $(1,1,1)$，方程为：
$16(x-1) + 9(y-1) + (-1)(z-1) = 0$
化简得：$16x - 16 + 9y - 9 - z + 1 = 0$，即 $16x + 9y - z - 24 = 0$。
公式：$16x + 9y - z - 24 = 0$
提示：法平面方程中法向量是切向量，注意符号和常数项合并。
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