广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）设 $\displaystyle F(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $F$ 为二次可微三元函数，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确变量关系，引入中间变量
设 $u = x$, $v = x + y$, $w = x + y + z$，则原方程 $F(x, x+y, x+y+z) = 0$ 可写为 $F(u, v, w) = 0$。其中 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的隐函数，因此 $w$ 也依赖于 $x, y$。
公式：$F(u, v, w) = 0$，其中 $u = x$, $v = x + y$, $w = x + y + z$
提示：注意 $z$ 是 $x, y$ 的函数，因此 $w$ 对 $x$ 的偏导包含 $\frac{\partial z}{\partial x}$。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导 $\frac{\partial z}{\partial x}$
对 $F(u, v, w) = 0$ 两边关于 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数），由链式法则：
$F_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + F_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + F_w \cdot \frac{\partial w}{\partial x} = 0$。
计算：$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial w}{\partial x} = 1 + \frac{\partial z}{\partial x}$。
代入得：$F_u + F_v + F_w \left(1 + \frac{\partial z}{\partial x}\right) = 0$。
整理得：$F_u + F_v + F_w + F_w \frac{\partial z}{\partial x} = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_u + F_v + F_w}{F_w}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_u + F_v + F_w}{F_w}$
提示：注意 $F_u, F_v, F_w$ 是在对应点 $(u, v, w)$ 处的偏导数值，且分母 $F_w \neq 0$。
步骤 3/5
目标：求一阶偏导 $\frac{\partial z}{\partial y}$
对 $F(u, v, w) = 0$ 两边关于 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数）：
$F_u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + F_v \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + F_w \cdot \frac{\partial w}{\partial y} = 0$。
计算：$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 1$, $\frac{\partial w}{\partial y} = 1 + \frac{\partial z}{\partial y}$。
代入得：$F_v + F_w \left(1 + \frac{\partial z}{\partial y}\right) = 0$。
解得 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_v + F_w}{F_w}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_v + F_w}{F_w}$
提示：与求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 相比，此处 $u$ 对 $y$ 的偏导为 0，因此结果中不含 $F_u$。
步骤 4/5
目标：准备求二阶偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$，引入记号并求 $\frac{\partial A}{\partial x}$
记 $p = \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{A}{F_w}$，其中 $A = F_u + F_v + F_w$。
则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{\frac{\partial A}{\partial x} F_w - A \frac{\partial F_w}{\partial x}}{F_w^2}$。
先计算 $\frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial F_u}{\partial x} + \frac{\partial F_v}{\partial x} + \frac{\partial F_w}{\partial x}$。
由链式法则：
$\frac{\partial F_u}{\partial x} = F_{uu} \cdot 1 + F_{uv} \cdot 1 + F_{uw} \cdot (1+p) = F_{uu} + F_{uv} + F_{uw}(1+p)$，
$\frac{\partial F_v}{\partial x} = F_{vu} + F_{vv} + F_{vw}(1+p)$，
$\frac{\partial F_w}{\partial x} = F_{wu} + F_{wv} + F_{ww}(1+p)$。
利用混合偏导可交换（$F_{uv}=F_{vu}$ 等），相加并整理得：
$\frac{\partial A}{\partial x} = (F_{uu} + 2F_{uv} + 2F_{uw} + F_{vv} + 2F_{vw}) + p(F_{uw} + F_{vw} + F_{ww})$。
公式：$\frac{\partial A}{\partial x} = (F_{uu} + 2F_{uv} + 2F_{uw} + F_{vv} + 2F_{vw}) + p(F_{uw} + F_{vw} + F_{ww})$
提示：注意 $p = \frac{\partial z}{\partial x}$ 本身也是 $x$ 的函数，但此处 $\frac{\partial A}{\partial x}$ 的计算中 $p$ 被视为已知表达式，暂不展开。
步骤 5/5
目标：求 $\frac{\partial F_w}{\partial x}$ 并代入二阶偏导公式
由前一步已得：
$\frac{\partial F_w}{\partial x} = F_{wu} + F_{wv} + F_{ww}(1+p) = F_{uw} + F_{vw} + F_{ww} + p F_{ww}$。
代入 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{\frac{\partial A}{\partial x} F_w - A \frac{\partial F_w}{\partial x}}{F_w^2}$，并注意 $A = F_u + F_v + F_w$，$p = -A/F_w$。
将 $\frac{\partial A}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial F_w}{\partial x}$ 的表达式代入，并利用 $p$ 替换 $A$，化简得：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{F_w^2} \left[ F_w (F_{uu} + 2F_{uv} + 2F_{uw} + F_{vv} + 2F_{vw}) - (F_u + F_v + F_w)(F_{uw} + F_{vw} + F_{ww}) \right] - \frac{2(F_u + F_v + F_w)}{F_w^3} (F_{uw} + F_{vw} + F_{ww})$。
（注：此式为最终化简结果，实际解题中可保留为含 $p$ 的形式以简化表达。）
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{F_w^2} \left[ F_w (F_{uu} + 2F_{uv} + 2F_{uw} + F_{vv} + 2F_{vw}) - (F_u + F_v + F_w)(F_{uw} + F_{vw} + F_{ww}) \right] - \frac{2(F_u + F_v + F_w)}{F_w^3} (F_{uw} + F_{vw} + F_{ww})$
提示：化简时注意 $p = -A/F_w$，且 $A = F_u + F_v + F_w$，避免符号错误。最终结果也可写成关于 $p$ 的表达式。
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