广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定可导的必要条件：连续性
函数在 $x=0$ 处可导，首先必须在 $x=0$ 处连续。连续性要求左极限、右极限和函数值相等，即 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$。
公式：连续性条件：$\lim_{x\to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$
提示：不要忽略函数在分段点处的定义，$f(0)$ 由 $x\ge 0$ 的分段表达式给出。
步骤 2/8
目标：计算左极限
当 $x<0$ 时，$f(x)=x^2+1$，因此左极限为 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (x^2+1) = 0^2+1 = 1$。
公式：$\lim_{x\to 0^-} f(x) = 1$
提示：代入时注意 $x$ 趋近于0，$x^2$ 趋近于0。
步骤 3/8
目标：计算函数值和右极限
当 $x=0$ 时，$f(0)=a\cdot 0 + b = b$。当 $x>0$ 时，$f(x)=ax+b$，右极限为 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = a\cdot 0 + b = b$。
公式：$f(0)=b$，$\lim_{x\to 0^+} f(x)=b$
提示：右极限与函数值表达式相同，但需注意这是从右侧趋近。
步骤 4/8
目标：由连续性得到 $b$ 的值
由连续性条件 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = f(0)$，即 $1 = b$，解得 $b=1$。
公式：$b=1$
提示：连续性只给出一个方程，此时 $a$ 尚未确定。
步骤 5/8
目标：可导性条件：左右导数相等
函数在 $x=0$ 处可导，还需左右导数相等，即 $f'_-(0) = f'_+(0)$。
公式：可导性条件：$f'_-(0) = f'_+(0)$
提示：左右导数需分别用导数的定义或分段函数的导数公式计算。
步骤 6/8
目标：计算左导数
对于 $x<0$，$f(x)=x^2+1$，导数为 $f'(x)=2x$，因此左导数为 $f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-} 2x = 0$。
公式：$f'_-(0) = 0$
提示：也可用导数定义：$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{(x^2+1)-1}{x}=0$。
步骤 7/8
目标：计算右导数
对于 $x>0$，$f(x)=ax+b$，导数为 $f'(x)=a$，因此右导数为 $f'_+(0) = a$。
公式：$f'_+(0) = a$
提示：注意 $b$ 已确定为1，但右导数与 $b$ 无关。
步骤 8/8
目标：联立条件得到 $a$ 的值并总结
令左右导数相等：$0 = a$，解得 $a=0$。因此，当 $a=0$，$b=1$ 时，函数在 $x=0$ 处可导。
公式：$a=0$，$b=1$
提示：最终答案需同时满足连续性和可导性两个条件。
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