广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ 所围成。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：对第一题进行换元，将积分变量从x转换为t=sin x
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x \, dx$。由于 $\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x = (1-t^2)\cos x$，原积分化为：
$$\int \frac{\sin x \cos^3 x}{1+\sin^2 x} dx = \int \frac{t \cdot (1-t^2) \cos x}{1+t^2} dx = \int \frac{t(1-t^2)}{1+t^2} dt$$
公式：$t = \sin x$, $dt = \cos x \, dx$, $\cos^3 x = (1-t^2)\cos x$
提示：注意换元时，$\cos^3 x$ 中的 $\cos x$ 要与 $dt$ 中的 $\cos x$ 结合，不要遗漏因子。
步骤 2/8
目标：化简被积函数，将其拆分为易于积分的形式
将 $\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}$ 进行拆分：
$$\frac{t(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{2t}{1+t^2} - t$$
验证：$\frac{2t}{1+t^2} - t = \frac{2t - t(1+t^2)}{1+t^2} = \frac{t - t^3}{1+t^2}$，正确。
公式：$\frac{t(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{2t}{1+t^2} - t$
提示：拆分技巧：将分子写成 $2t - t(1+t^2)$ 的形式，便于分离出简单项。
步骤 3/8
目标：对拆分后的表达式进行积分
积分化为：
$$\int \left( \frac{2t}{1+t^2} - t \right) dt = 2\int \frac{t}{1+t^2} dt - \int t \, dt$$
计算得：
$$2 \cdot \frac{1}{2} \ln(1+t^2) - \frac{1}{2} t^2 + C = \ln(1+t^2) - \frac{1}{2} t^2 + C$$
公式：$\int \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$, $\int t \, dt = \frac{1}{2} t^2$
提示：注意 $\int \frac{t}{1+t^2} dt$ 是典型的对数积分，不要忘记系数。
步骤 4/8
目标：将积分结果代回原变量x，得到第一题答案
由 $t = \sin x$，代入得：
$$\ln(1+\sin^2 x) - \frac{1}{2} \sin^2 x + C$$
公式：$\ln(1+\sin^2 x) - \frac{1}{2} \sin^2 x + C$
提示：最终结果中 $\sin^2 x$ 不要写成 $\sin x^2$，注意括号的使用。
步骤 5/8
目标：对第二题进行极坐标变换，将二重积分化为累次积分
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则区域 $D$：$0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$，面积元 $dxdy = r \, dr \, d\theta$。被积函数中：
$$1-x^2-y^2 = 1-r^2, \quad 1+x^2+y^2 = 1+r^2$$
原积分化为：
$$I = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1} \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} r \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} \, dr$$
公式：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = r \, dr \, d\theta$, $\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}} = \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}$
提示：极坐标变换时，注意 $r$ 的范围由 $x^2+y^2 \le 1$ 决定，$\theta$ 的范围由 $x \ge 0, y \ge 0$ 决定。
步骤 6/8
目标：对径向积分进行变量替换，令 u = r^2
令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$，即 $r \, dr = \frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=0$，$r=1$ 时 $u=1$。积分化为：
$$\int_0^1 r \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} \, dr = \int_0^1 \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-u}{1+u}} \, du$$
因此：
$$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{\frac{1-u}{1+u}} \, du = \frac{\pi}{4} \int_0^1 \sqrt{\frac{1-u}{1+u}} \, du$$
公式：$u = r^2$, $r \, dr = \frac{1}{2} du$
提示：换元后注意积分限的变化，不要忘记 $\frac{1}{2}$ 因子。
步骤 7/8
目标：计算积分 $\int_0^1 \sqrt{\frac{1-u}{1+u}} \, du$，使用三角换元 u = cos t
令 $u = \cos t$，则 $du = -\sin t \, dt$。当 $u=0$ 时 $t = \frac{\pi}{2}$，$u=1$ 时 $t=0$。被积函数化为：
$$\sqrt{\frac{1-u}{1+u}} = \sqrt{\frac{1-\cos t}{1+\cos t}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(t/2)}{2\cos^2(t/2)}} = \tan\frac{t}{2}$$
积分变为：
$$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-u}{1+u}} \, du = \int_{t=\pi/2}^{0} \tan\frac{t}{2} \cdot (-\sin t) \, dt = \int_{0}^{\pi/2} \tan\frac{t}{2} \cdot \sin t \, dt$$
利用 $\sin t = 2\sin(t/2)\cos(t/2)$，得：
$$\tan\frac{t}{2} \cdot \sin t = \frac{\sin(t/2)}{\cos(t/2)} \cdot 2\sin(t/2)\cos(t/2) = 2\sin^2(t/2) = 1 - \cos t$$
因此：
$$\int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos t) \, dt = \left[ t - \sin t \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 1$$
公式：$u = \cos t$, $\sqrt{\frac{1-u}{1+u}} = \tan\frac{t}{2}$, $\sin t = 2\sin(t/2)\cos(t/2)$, $2\sin^2(t/2) = 1 - \cos t$
提示：三角换元时，注意积分限的对应和符号变化，化简 $\tan\frac{t}{2} \cdot \sin t$ 时需利用倍角公式。
步骤 8/8
目标：将结果代入，得到第二题最终答案
由 $I = \frac{\pi}{4} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$。
公式：$I = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$
提示：最终结果需化简为最简形式，注意 $\pi^2$ 和 $\pi$ 的系数不要混淆。
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