广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}(x-t) f(t) d t, x \in[a, b]$ ，试求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：改写函数形式，分离变量x
将原积分 $F(x) = \int_a^x (x-t)f(t)\,dt$ 拆分为两项：$F(x) = x\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^x t f(t)\,dt$。这样，$x$ 出现在积分上限和积分号外，便于求导。
公式：F(x) = x\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^x t f(t)\,dt
提示：注意积分变量是 $t$，$x$ 是参数，拆分时不要遗漏符号。
步骤 2/4
目标：求一阶导数 F'(x)
对第一项 $x\int_a^x f(t)\,dt$ 使用乘积法则：导数为 $1\cdot\int_a^x f(t)\,dt + x\cdot f(x)$。对第二项 $-\int_a^x t f(t)\,dt$ 使用莱布尼茨公式：导数为 $-x f(x)$。两项相加得 $F'(x) = \int_a^x f(t)\,dt + x f(x) - x f(x) = \int_a^x f(t)\,dt$。
公式：F'(x) = \int_a^x f(t)\,dt
提示：注意 $\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)\,dt = g(x)$，这里 $g(t)=t f(t)$。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 F''(x)
由 $F'(x) = \int_a^x f(t)\,dt$，根据微积分基本定理，直接对上限求导得 $F''(x) = f(x)$。
公式：F''(x) = f(x)
提示：这里要求 $f$ 连续，否则微积分基本定理不一定成立。
步骤 4/4
目标：总结结果
因此，$F(x)$ 的二阶导数等于被积函数 $f(x)$。
公式：F''(x) = f(x)
提示：最终结果简洁，注意 $f$ 的连续性条件。
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