广西民族大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三点， 0 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，求最大体积．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定三角形ABC的顶点坐标
平面方程为 $x+y+z=3$。令 $y=0, z=0$，得 $x=3$，故 $A(3,0,0)$；令 $x=0, z=0$，得 $y=3$，故 $B(0,3,0)$；令 $x=0, y=0$，得 $z=3$，故 $C(0,0,3)$。
公式：A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3)
提示：注意截距法求坐标时，每次只令两个变量为0。
步骤 2/5
目标：建立长方体体积表达式
点 $P(x,y,z)$ 在三角形 $ABC$ 上，由于三角形位于第一卦限，故 $x,y,z \geq 0$。以 $OP$ 为对角线，三坐标平面为面的长方体，其长、宽、高分别为 $x, y, z$，体积为 $V = xyz$。
公式：V = xyz
提示：注意点P在三角形上，坐标非负，无需加绝对值。
步骤 3/5
目标：列出约束条件并转化为极值问题
点 $P$ 在平面 $x+y+z=3$ 上，且 $x,y,z \geq 0$。问题转化为：在约束 $x+y+z=3$ 及 $x,y,z \geq 0$ 下，求 $V=xyz$ 的最大值。
公式：\max\, xyz \quad \text{s.t. } x+y+z=3,\, x,y,z \geq 0
提示：这是一个对称的条件极值问题，可用均值不等式或拉格朗日乘数法。
步骤 4/5
目标：利用均值不等式求最大值
由均值不等式，对非负实数 $x,y,z$ 有 $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$。代入 $x+y+z=3$ 得 $1 \geq \sqrt[3]{xyz}$，即 $xyz \leq 1$。等号成立当且仅当 $x=y=z$，结合 $x+y+z=3$ 得 $x=y=z=1$。
公式：\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \leq 1
提示：均值不等式取等条件为各数相等，注意检查是否满足非负约束。
步骤 5/5
目标：验证点是否在三角形上并给出最大体积
点 $(1,1,1)$ 满足 $x+y+z=3$ 且坐标非负，位于三角形 $ABC$ 内部（不在边界顶点），是可行点。因此最大体积为 $V_{\max}=1 \times 1 \times 1 = 1$。
公式：V_{\max} = 1
提示：验证点是否在三角形内部，只需检查坐标是否满足平面方程且非负。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。