广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察通项形式
这个和一共有 $n$ 项，第 $k$ 项是 $\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$，其中 $k = 1, 2, \dots, n$。当 $n$ 很大时，每一项的分母主要部分都是 $n$，因此每一项大约为 $\frac{1}{n}$，而一共有 $n$ 项，所以总和可能趋近于某个常数。
公式：\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}, \quad k=1,2,\dots,n
提示：注意项数随 $n$ 增加而增加，不能简单认为每项趋于0则和为0。
步骤 2/5
目标：用夹逼准则估计每一项的范围
对于任意 $k$ 满足 $1 \leq k \leq n$，有 $n^2 < n^2 + k \leq n^2 + n$。因此 $\sqrt{n^2} < \sqrt{n^2 + k} \leq \sqrt{n^2 + n}$，即 $n < \sqrt{n^2 + k} \leq \sqrt{n^2 + n}$。取倒数，不等号方向反转，得到 $\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} < \frac{1}{n}$。
公式：\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} < \frac{1}{n}
提示：取倒数时注意不等号方向改变，且分母越大值越小。
步骤 3/5
目标：对整个和进行夹逼
设 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$。对每一项应用上述不等式并求和：左边 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}$，右边 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1$。于是有 $\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq S_n < 1$。
公式：\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq S_n < 1
提示：右边是严格小于1，但极限不受影响。
步骤 4/5
目标：求左边极限
计算 $\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此 $\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \to 1$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1
提示：分子分母同除以 $n$ 是处理 $n \to \infty$ 极限的常用技巧。
步骤 5/5
目标：由夹逼准则得结果
由于左边极限为1，右边为常数1，根据夹逼准则，中间的 $S_n$ 极限也为1。因此原极限为1。
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = 1
提示：夹逼准则要求两边极限相等，且中间序列被夹住，即可得极限值。
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