📝 广西民族大学 2022年数学分析真题

2．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．

3．计算积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} d x d y$ ，其中，$D:\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\}$ ．

4．计算直线 $4 x+3 y=16$ 与椭圆 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．

5．计算曲面积分 $\oiint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧．

6．计算二重积分 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 由直线 $y=x, y=1$ ，以及直线 $x=2$ 围成．

1．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续。证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．

2．设 $f(x), g(x)$ 都在区间 $I$ 上一致连续，证明 $f(x)+g(x)$ 在 $I$ 上一致连续．

3．设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。证明：至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．

4．若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

5．证明不等式： $1+x^{2} \leq 2^{x} \leq 1+x, x \in[0,1]$ ．

1．（1）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} x^{n}$ 收敛半径与收敛域；
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} x^{n}$ 的和函数以及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1) 2^{n}}$ ．

2．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是
（1）不包围也不通过原点的任意闭曲线；
（2）以原点为中心的正向单位圆周．