广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f(x), g(x)$ 都在区间 $I$ 上一致连续，证明 $f(x)+g(x)$ 在 $I$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $h(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1,x_2 \in I: |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |h(x_1)-h(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续中的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：利用 f 的一致连续性得到第一个 δ₁
因为 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续，所以对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $|x_1 - x_2| < \delta_1$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\exists \delta_1 > 0: \forall x_1,x_2 \in I, |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$
提示：这里取 $\frac{\varepsilon}{2}$ 是为了后续和 g 的差值相加后恰好得到 $\varepsilon$。
步骤 3/5
目标：利用 g 的一致连续性得到第二个 δ₂
因为 $g(x)$ 在 $I$ 上一致连续，所以存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $|x_1 - x_2| < \delta_2$ 时，有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\exists \delta_2 > 0: \forall x_1,x_2 \in I, |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意两个 $\delta$ 可能不同，需要取它们的公共部分。
步骤 4/5
目标：取公共的 δ 并应用三角不等式
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} > 0$。那么对于任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就同时满足 $|x_1 - x_2| < \delta_1$ 和 $|x_1 - x_2| < \delta_2$，从而有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2}$ 和 $|g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2}$。考虑 $f+g$ 的差值：$|(f+g)(x_1) - (f+g)(x_2)| = |f(x_1)-f(x_2) + g(x_1)-g(x_2)|$，由三角不等式得 $\le |f(x_1)-f(x_2)| + |g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。
公式：$|(f+g)(x_1)-(f+g)(x_2)| \le |f(x_1)-f(x_2)|+|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon$
提示：三角不等式 $|a+b| \le |a|+|b|$ 是这里的关键，注意不要直接拆开符号。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，对于任意 $\varepsilon > 0$，我们找到了 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} > 0$，使得当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，$|(f+g)(x_1) - (f+g)(x_2)| < \varepsilon$。由一致连续的定义，$f(x)+g(x)$ 在 $I$ 上一致连续。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0: \forall x_1,x_2 \in I, |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |(f+g)(x_1)-(f+g)(x_2)|<\varepsilon$
提示：证明完成，注意这里没有用到区间 $I$ 的特殊性质，只依赖于定义和三角不等式。
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