广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．计算积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} d x d y$ ，其中，$D:\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域与被积函数，引入变量代换
积分区域 $D: |x|+|y|\le 1$ 是中心在原点的菱形，被积函数分子 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分母含 $x+y$，因此考虑变量代换 $u=x+y,\; v=x-y$。
公式：$u=x+y,\; v=x-y$
提示：注意 $x^2-y^2$ 可分解为 $(x-y)(x+y)$，与分母形式呼应。
步骤 2/6
目标：计算雅可比行列式并写出面积元变换
反解得 $x=\frac{u+v}{2},\; y=\frac{u-v}{2}$，雅可比行列式 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac12 & \frac12 \\ \frac12 & -\frac12\end{vmatrix}=-\frac12$，取绝对值后面积元 $dxdy=\frac12 dudv$。
公式：$dxdy=\frac12\,du\,dv$
提示：雅可比行列式要取绝对值，此处为 $\frac12$。
步骤 3/6
目标：将积分区域变换到新变量下的正方形
由 $|x|+|y|\le1$ 得 $\frac{|u+v|}{2}+\frac{|u-v|}{2}\le1$，即 $|u+v|+|u-v|\le2$。分情况讨论：若 $|u|\ge|v|$，则 $|u+v|+|u-v|=2|u|\le2$ 得 $|u|\le1$；若 $|v|\ge|u|$，则 $2|v|\le2$ 得 $|v|\le1$。故新区域 $D': -1\le u\le1,\; -1\le v\le1$，为正方形。
公式：$D': -1\le u\le1,\; -1\le v\le1$
提示：利用绝对值不等式 $|u+v|+|u-v|=2\max(|u|,|v|)$ 可快速得到结果。
步骤 4/6
目标：变换被积函数并写出新积分表达式
分子 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=uv$，分母 $\sqrt{x+y+3}=\sqrt{u+3}$，面积元因子 $\frac12$，故积分化为 $I=\iint_{D'}\frac{uv}{\sqrt{u+3}}\cdot\frac12\,du\,dv=\frac12\int_{u=-1}^{1}\int_{v=-1}^{1}\frac{uv}{\sqrt{u+3}}\,dv\,du$。
公式：$I=\frac12\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{uv}{\sqrt{u+3}}\,dv\,du$
提示：注意被积函数分离变量，$v$ 的积分与 $u$ 无关。
步骤 5/6
目标：先对 $v$ 积分并得出结果
内层积分 $\int_{v=-1}^{1} v\, dv = \left[\frac{v^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac12-\frac12=0$，因此整个积分 $I=0$。
公式：$\int_{-1}^{1} v\, dv = 0$
提示：$v$ 是奇函数，对称区间积分为零，可直接判断。
步骤 6/6
目标：利用对称性验证结果
区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，被积函数中分子 $x^2-y^2$ 交换 $x,y$ 变号（奇函数），分母 $\sqrt{x+y+3}$ 对称不变（偶函数），故积分值为 $0$。
公式：对称性：$\iint_D f(x,y)\,dxdy=0$ 若 $f$ 关于 $y=x$ 反对称
提示：对称性可快速检验计算结果，但需确保区域对称且被积函数满足奇偶性。
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