广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．计算曲面积分 $\oiint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分形式与曲面
题目要求计算第二类曲面积分 \(\oiint_{S} yz \, dy\,dz + zx \, dz\,dx + xy \, dx\,dy\)，其中 \(S\) 是单位球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的外侧。
公式：\oiint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy
提示：注意第二类曲面积分中微元顺序与坐标对应，外侧方向决定符号。
步骤 2/6
目标：识别被积函数分量
将积分与标准形式对比，得到：\(P = yz\)，\(Q = zx\)，\(R = xy\)。
公式：P = yz,\quad Q = zx,\quad R = xy
提示：确保每个分量对应正确的微分形式：\(P\) 对应 \(dy\,dz\)，\(Q\) 对应 \(dz\,dx\)，\(R\) 对应 \(dx\,dy\)。
步骤 3/6
目标：考虑应用高斯公式
由于曲面 \(S\) 是封闭的且取外侧，满足高斯公式（散度定理）的条件。高斯公式将曲面积分转化为三重积分：
\[\oiint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV\]
其中 \(V\) 是 \(S\) 所围成的区域，即单位球体。
公式：\oiint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向为外侧，本题满足条件。
步骤 4/6
目标：计算散度
分别求偏导数：
\(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial (yz)}{\partial x} = 0\)，
\(\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial (zx)}{\partial y} = 0\)，
\(\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial (xy)}{\partial z} = 0\)。
因此散度 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0+0+0 = 0\)。
公式：\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0
提示：散度为零是简化计算的关键，注意每个偏导计算要准确。
步骤 5/6
目标：应用高斯公式得到结果
将散度代入高斯公式：
\[\oiint_{S} yz\,dy\,dz + zx\,dz\,dx + xy\,dx\,dy = \iiint_{V} 0\,dV = 0\]
公式：\iiint_{V} 0\,dV = 0
提示：三重积分被积函数为零，结果必为零，无需计算积分区域。
步骤 6/6
目标：得出结论
原曲面积分的值为 \(0\)。
公式：\boxed{0}
提示：最终答案简洁，注意检查曲面方向是否一致。
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