广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．（1）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} x^{n}$ 收敛半径与收敛域；
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} x^{n}$ 的和函数以及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1) 2^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求收敛半径
设系数 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$，利用比值审敛法求收敛半径：
$$
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{(n+1)(n+2)}}{\frac{1}{n(n+1)}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} = 1.
$$
因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = 1$
提示：比值法求收敛半径时，注意极限为1时半径即为1，需进一步判断端点。
步骤 2/6
目标：判断端点收敛性，确定收敛域
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$，利用裂项 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，部分和 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$，故收敛。
当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$，绝对值级数收敛，故绝对收敛。
因此收敛域为 $[-1, 1]$。
公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
提示：端点需单独代入判断，注意$x=-1$时可用绝对收敛性简化判断。
步骤 3/6
目标：将幂级数分解为两个简单级数之和
记 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)}$，利用裂项得：
$$
S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}.
$$
第一个和是经典级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$，$|x|<1$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$
提示：注意裂项后两个级数的起始项不同，第二个级数需调整下标。
步骤 4/6
目标：计算第二个级数的和
对第二个级数变形：
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k}.
$$
而 $\sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k} = \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}\right) - x = -\ln(1-x) - x$，
故
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1} = \frac{-\ln(1-x)-x}{x}.
$$
公式：$\sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x) - x$
提示：注意$x \neq 0$，且下标变换时不要遗漏项。
步骤 5/6
目标：合并得到和函数表达式
将两部分代入 $S(x)$：
$$
S(x) = -\ln(1-x) - \frac{-\ln(1-x)-x}{x} = -\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x)}{x} + 1.
$$
整理得
$$
S(x) = 1 + \left(\frac{1}{x} - 1\right)\ln(1-x) = 1 + \frac{1-x}{x}\ln(1-x), \quad x \neq 0.
$$
当 $x=0$ 时，$S(0)=0$，且极限 $\lim_{x\to 0} S(x)=0$，故可补充定义。
公式：$S(x) = 1 + \frac{1-x}{x}\ln(1-x), \quad x \in [-1,1]\setminus\{0\}$
提示：注意$x=0$需单独处理，且表达式在$x=0$处为可去间断点。
步骤 6/6
目标：计算常数项级数的值
所求级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)2^n}$ 即为 $S\left(\frac{1}{2}\right)$。代入和函数：
$$
S\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \ln\left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \ln\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + \ln\frac{1}{2} = 1 - \ln 2.
$$
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)2^n} = 1 - \ln 2$
提示：代入时注意$x=\frac{1}{2}$在收敛域内，且$\ln(1/2) = -\ln 2$。
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