广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。证明：至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)=0$。需要证明存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi)+f'(\xi)=0$。
公式：f(a)=f(b)=0
提示：注意条件中的连续性和可导性是应用微分中值定理的基础。
步骤 2/4
目标：将待证等式转化为导数形式
将 $f(\xi)+f'(\xi)=0$ 改写为 $f'(\xi)=-f(\xi)$，这提示我们考虑某个函数的导数为零，从而联想到构造辅助函数 $F(x)=e^x f(x)$，因为 $F'(x)=e^x(f(x)+f'(x))$。
公式：F'(x)=e^x(f(x)+f'(x))
提示：构造辅助函数时，通常将待证等式与某个函数的导数联系起来，$e^x$ 的导数不变性是一个常用技巧。
步骤 3/4
目标：验证辅助函数满足罗尔定理条件
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，而 $e^x$ 是光滑函数，故 $F(x)=e^x f(x)$ 也在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导。又因为 $f(a)=f(b)=0$，所以 $F(a)=e^a f(a)=0$，$F(b)=e^b f(b)=0$，即 $F(a)=F(b)$。
公式：F(a)=0, F(b)=0
提示：验证罗尔定理的三个条件：连续性、可导性、端点函数值相等。
步骤 4/4
目标：应用罗尔定理得出结论
由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(\xi)=e^\xi (f(\xi)+f'(\xi))=0$，由于 $e^\xi > 0$，因此 $f(\xi)+f'(\xi)=0$。证毕。
公式：e^\xi (f(\xi)+f'(\xi))=0 \Rightarrow f(\xi)+f'(\xi)=0
提示：注意 $e^\xi$ 恒正，可以直接约去，得到所需等式。
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