广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是
（1）不包围也不通过原点的任意闭曲线；
（2）以原点为中心的正向单位圆周．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将曲线积分写成标准形式，并定义P和Q
将积分写为 $I = \oint_L P\,dx + Q\,dy$，其中 $P = \frac{x+y}{x^2+y^2}$，$Q = \frac{-(x-y)}{x^2+y^2} = \frac{-x+y}{x^2+y^2}$。
公式：P = \frac{x+y}{x^2+y^2}, \quad Q = \frac{-x+y}{x^2+y^2}
提示：注意Q的符号：原积分中为 $-(x-y)dy$，所以Q是 $-(x-y)/(x^2+y^2)$。
步骤 2/6
目标：检查向量场是否为保守场（旋度为零）
计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1\cdot (x^2+y^2) - (x+y)\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x^2+y^2)^2}$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(-1)\cdot (x^2+y^2) - (-x+y)\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x^2+y^2)^2}$
两者相等，因此在除去原点的区域，该向量场是保守场。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x^2+y^2)^2}
提示：计算偏导时注意分母的求导法则，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：情况（1）：曲线不包围也不通过原点
由于曲线L不包围原点，它所围成的单连通区域不包含奇点（原点），且向量场在该区域内保守，因此沿任意闭曲线的积分为零。
公式：I = 0
提示：注意：若曲线包围原点，则不能直接使用格林公式，因为原点处向量场无定义。
步骤 4/6
目标：情况（2）：以原点为中心的正向单位圆周的参数化
取参数化：$x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$（正向）。则 $dx = -\sin\theta\,d\theta$，$dy = \cos\theta\,d\theta$，分母 $x^2+y^2 = 1$。
公式：x = \cos\theta,\ y = \sin\theta,\ dx = -\sin\theta\,d\theta,\ dy = \cos\theta\,d\theta
提示：注意正向圆周对应参数增加方向为逆时针。
步骤 5/6
目标：代入被积表达式并化简
分子部分：
$(x+y)dx = (\cos\theta+\sin\theta)(-\sin\theta\,d\theta) = (-\cos\theta\sin\theta - \sin^2\theta)d\theta$
$-(x-y)dy = -(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta\,d\theta) = (-\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta)d\theta$
相加得：$(-\cos\theta\sin\theta - \sin^2\theta - \cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta)d\theta = -(\sin^2\theta+\cos^2\theta)d\theta = -d\theta$。
公式：(x+y)dx - (x-y)dy = -d\theta
提示：合并时注意 $\cos\theta\sin\theta$ 项相互抵消。
步骤 6/6
目标：计算积分值
被积式简化为 $\frac{-d\theta}{1} = -d\theta$，因此 $I = \int_0^{2\pi} (-d\theta) = -2\pi$。
公式：I = \int_0^{2\pi} -d\theta = -2\pi
提示：注意积分上下限对应完整圆周，结果为 $-2\pi$。
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