广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
6．计算二重积分 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 由直线 $y=x, y=1$ ，以及直线 $x=2$ 围成．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域D并画出草图
由直线 $y=x$, $y=1$, $x=2$ 围成。求交点：$y=x$ 与 $y=1$ 交于 $(1,1)$；$y=x$ 与 $x=2$ 交于 $(2,2)$；$y=1$ 与 $x=2$ 交于 $(2,1)$。区域D是以 $(1,1)$, $(2,2)$, $(2,1)$ 为顶点的三角形。
提示：注意三条直线围成的区域是三角形，不要遗漏边界。
步骤 2/6
目标：选择积分次序并确定积分限
观察区域：$x$ 从 $1$ 到 $2$；对于固定的 $x$，$y$ 从下边界 $y=1$ 到上边界 $y=x$。因此采用先对 $y$ 后对 $x$ 的积分次序：
\[ \iint_D xy \, d\sigma = \int_{x=1}^{2} \int_{y=1}^{x} xy \, dy \, dx \]
公式：\iint_D xy \, d\sigma = \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx
提示：注意下界是 $y=1$ 而不是 $y=0$，上界是 $y=x$。
步骤 3/6
目标：计算内层积分（对y积分）
将 $x$ 视为常数，对 $y$ 积分：
\[ \int_{y=1}^{x} xy \, dy = x \int_{1}^{x} y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} = x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{x(x^2 - 1)}{2} \]
公式：\int_{1}^{x} xy \, dy = \frac{x(x^2-1)}{2}
提示：积分时注意 $x$ 是常数，不要忘记乘以 $x$。
步骤 4/6
目标：计算外层积分（对x积分）
将内层积分结果代入外层：
\[ \int_{1}^{2} \frac{x(x^2-1)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (x^3 - x) \, dx \]
公式：\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (x^3 - x) \, dx
提示：注意提取常数因子 $\frac{1}{2}$。
步骤 5/6
目标：分别计算两个定积分
计算 $\int_{1}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$；
计算 $\int_{1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
公式：\int_{1}^{2} x^3 \, dx = \frac{15}{4}, \quad \int_{1}^{2} x \, dx = \frac{3}{2}
提示：注意牛顿-莱布尼茨公式的正确使用，代入上下限时小心符号。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
代入相减：
\[ \frac{1}{2} \left( \frac{15}{4} - \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{15}{4} - \frac{6}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8} \]
公式：\frac{9}{8}
提示：通分时注意分母统一为4，避免计算错误。
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