广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．计算直线 $4 x+3 y=16$ 与椭圆 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将问题转化为点到直线的距离问题
直线方程为 \(4x + 3y = 16\)，点 \((x_0, y_0)\) 到直线的距离公式为 \(d = \frac{|4x_0 + 3y_0 - 16|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4x_0 + 3y_0 - 16|}{5}\)。因此，问题转化为在椭圆 \(18x^2 + 5y^2 = 45\) 上找一点，使 \(|4x + 3y - 16|\) 最小。
公式：d = \frac{|4x + 3y - 16|}{5}
提示：注意绝对值的最小化等价于内部表达式绝对值的极小化，可先求 \(4x+3y\) 的取值范围。
步骤 2/5
目标：用拉格朗日乘数法求条件极值
设目标函数 \(f(x,y) = 4x + 3y\)，约束条件 \(g(x,y) = 18x^2 + 5y^2 - 45 = 0\)。构造拉格朗日函数 \(L = 4x + 3y + \lambda(18x^2 + 5y^2 - 45)\)。求偏导：
\[
\frac{\partial L}{\partial x} = 4 + 36\lambda x = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{9\lambda}
\]
\[
\frac{\partial L}{\partial y} = 3 + 10\lambda y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{10\lambda}
\]
公式：x = -\frac{1}{9\lambda}, \quad y = -\frac{3}{10\lambda}
提示：注意偏导方程中 \(\lambda\) 不能为零，否则无解。
步骤 3/5
目标：代入约束条件求解 λ
将 \(x, y\) 代入椭圆方程：
\[
18\left(-\frac{1}{9\lambda}\right)^2 + 5\left(-\frac{3}{10\lambda}\right)^2 = 45
\]
计算得：
\[
18 \cdot \frac{1}{81\lambda^2} = \frac{2}{9\lambda^2}, \quad 5 \cdot \frac{9}{100\lambda^2} = \frac{9}{20\lambda^2}
\]
相加：
\[
\frac{2}{9\lambda^2} + \frac{9}{20\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}\left(\frac{2}{9} + \frac{9}{20}\right) = \frac{1}{\lambda^2} \cdot \frac{121}{180}
\]
因此 \(\frac{121}{180\lambda^2} = 45\)，解得 \(\lambda^2 = \frac{121}{8100}\)，即 \(\lambda = \pm \frac{11}{90}\)。
公式：\lambda = \pm \frac{11}{90}
提示：通分时注意分母为180，分子40+81=121，不要算错。
步骤 4/5
目标：求出对应的极值点
当 \(\lambda = \frac{11}{90}\) 时：
\[
x = -\frac{1}{9 \cdot \frac{11}{90}} = -\frac{10}{11}, \quad y = -\frac{3}{10 \cdot \frac{11}{90}} = -\frac{27}{11}
\]
此时 \(4x+3y = -11\)。
当 \(\lambda = -\frac{11}{90}\) 时：
\[
x = -\frac{1}{9 \cdot (-\frac{11}{90})} = \frac{10}{11}, \quad y = -\frac{3}{10 \cdot (-\frac{11}{90})} = \frac{27}{11}
\]
此时 \(4x+3y = 11\)。
公式：点 \left(-\frac{10}{11}, -\frac{27}{11}\right) 和 \left(\frac{10}{11}, \frac{27}{11}\right)
提示：注意符号变化，代入时仔细计算。
步骤 5/5
目标：计算最短距离
直线为 \(4x+3y=16\)，两个候选点到直线的距离：
对于点 \(\left(-\frac{10}{11}, -\frac{27}{11}\right)\)：
\[
| -11 - 16 | = 27, \quad d = \frac{27}{5} = 5.4
\]
对于点 \(\left(\frac{10}{11}, \frac{27}{11}\right)\)：
\[
| 11 - 16 | = 5, \quad d = \frac{5}{5} = 1
\]
最小值为1。
公式：d_{\min} = 1
提示：距离公式中分母为5，注意不要遗漏。
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