广西民族大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知：
1. 函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, +\infty)\) 上一致连续。
2. 反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛。
要证明：
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. \]
公式：一致连续定义：\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y \in [a,+\infty), |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\)
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续的 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：用反证法假设极限不为零
假设结论不成立，即 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq 0\)。则存在 \(\varepsilon_0 > 0\) 和一个严格递增趋于无穷的数列 \(\{x_n\}\)，使得对每个 \(n\)，有 \(|f(x_n)| \ge \varepsilon_0\)。
公式：存在 \(\varepsilon_0 > 0\) 和 \(x_n \to +\infty\)，使得 \(|f(x_n)| \ge \varepsilon_0\)
提示：这里用到了极限不存在的否定形式：存在正数 \(\varepsilon_0\) 使得无论取多大，总有点的函数值绝对值不小于 \(\varepsilon_0\)。
步骤 3/5
目标：利用一致连续性构造函数值有下界的区间
由一致连续性，对上述 \(\varepsilon_0 > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|x - y| < \delta\) 时，\(|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon_0}{2}\)。
取足够大的 \(n\) 使得 \(x_n - \delta > a\)，则对任意 \(x \in [x_n - \delta, x_n + \delta]\)，有
\[ |f(x)| \ge |f(x_n)| - |f(x) - f(x_n)| \ge \varepsilon_0 - \frac{\varepsilon_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}. \]
并且 \(f(x)\) 与 \(f(x_n)\) 同号（因为差值小于 \(\varepsilon_0/2\)，而 \(|f(x_n)| \ge \varepsilon_0\)）。
公式：\[ |f(x)| \ge \frac{\varepsilon_0}{2}, \quad \forall x \in [x_n - \delta, x_n + \delta] \]
提示：关键点：一致连续性保证了在 \(x_n\) 附近的一个固定长度区间内，函数值不会下降到 \(\varepsilon_0/2\) 以下，且符号不变。
步骤 4/5
目标：导出积分发散的矛盾
考虑这些区间上的积分。由于 \(x_n \to +\infty\)，我们可以选取子列使得相邻的 \(x_{n_k}\) 间距大于 \(2\delta\)，从而这些区间互不相交。在每个区间上，由于 \(f(x)\) 符号不变且绝对值 \(\ge \varepsilon_0/2\)，有
\[ \left| \int_{x_{n_k}-\delta}^{x_{n_k}+\delta} f(x) \, dx \right| \ge \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot 2\delta = \varepsilon_0 \delta > 0. \]
由柯西收敛准则，若 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 收敛，则对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(X\)，使得对任意 \(u > v > X\)，有 \(\left|\int_v^u f(x) \, dx\right| < \varepsilon\)。但这里我们可以取 \(u = x_{n_k}+\delta, v = x_{n_k}-\delta\)，当 \(k\) 充分大时，这些区间都位于 \(X\) 右侧，而积分绝对值恒为 \(\varepsilon_0\delta\)，与收敛矛盾。
公式：\[ \left| \int_{x_{n_k}-\delta}^{x_{n_k}+\delta} f(x) \, dx \right| \ge \varepsilon_0 \delta > 0 \]
提示：注意：这里利用了符号不变性避免正负抵消，否则仅靠绝对值下界不能直接推出积分发散（例如 \(f(x)\) 正负交替可能使积分很小）。一致连续性保证了符号一致。
步骤 5/5
目标：得出结论
反证假设导致矛盾，因此原假设不成立，必有 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)。
公式：\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \]
提示：该结论是分析学中一个经典结果：一致连续且积分收敛的函数在无穷远处必须趋于零。
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