广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原极限转化为对数形式，便于处理幂指结构
设 $L = \lim_{x \to +\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$，取自然对数得：
$$
\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ -x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]
$$
由于对数函数连续，极限可移至指数外，先求此极限。
公式：\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ -x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]
提示：注意取对数后，原乘积变为和，幂指数变为乘积，这是处理幂指函数极限的标准技巧。
步骤 2/5
目标：对对数项进行泰勒展开，以便化简
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，利用泰勒展开：
$$
\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{3x^{3}} - \frac{1}{4x^{4}} + O\left(\frac{1}{x^{5}}\right)
$$
代入 $x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ 得：
$$
x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^{2}} + O\left(\frac{1}{x^{3}}\right)
$$
公式：\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{3x^{3}} - \cdots
提示：泰勒展开时，必须展开到足够高阶，确保后续抵消后能留下常数项。这里展开到 $1/x^3$ 项即可，因为 $x^2$ 乘 $1/x^3$ 会趋于0。
步骤 3/5
目标：将展开结果代入对数表达式并化简
将上一步结果代入 $-x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$：
$$
-x + \left( x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^{2}} + O\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^{2}} + O\left(\frac{1}{x^{3}}\right)
$$
当 $x \to +\infty$ 时，所有含 $\frac{1}{x}$ 的项均趋于0。
公式：-x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^{2}} + O\left(\frac{1}{x^{3}}\right)
提示：注意 $-x$ 与展开式中的 $x$ 恰好抵消，这是本题的关键。若展开阶数不够，可能无法得到正确常数项。
步骤 4/5
目标：求出对数极限值
取极限 $x \to +\infty$：
$$
\lim_{x \to +\infty} \left[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^{2}} + O\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \right] = -\frac{1}{2}
$$
因此 $\ln L = -\frac{1}{2}$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \left[-x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right] = -\frac{1}{2}
提示：极限运算中，高阶无穷小项直接忽略，只需关注常数项。
步骤 5/5
目标：还原原极限并写出最终答案
由 $\ln L = -\frac{1}{2}$，两边取指数得：
$$
L = e^{-\frac{1}{2}}
$$
即原极限为 $e^{-1/2}$。
公式：L = e^{-\frac{1}{2}}
提示：最后一步不要忘记指数运算，且结果应化简为最简形式。
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