📝 广西民族大学 2023年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2．求极限 $a_{n}=\sqrt[n]{2+x^{n}}, x>0$ ．

3．计算积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。

4．计算不定积分 $\displaystyle \int\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2} d x$ 。

5．求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 被平面 $\displaystyle z=\frac{a}{4}$ 和 $\displaystyle z=\frac{a}{2}$ 所夹部分面积．

6．计算积分 $\int_{L} y d s$ ，其中 $L$ 是摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 的一摆．

1．已知 $f(x)=x^{2}$ ，
（1）证明：$f(x)$ 在 $[0, a](a>0)$ 上一致连续；
（2）证明：$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 非一致连续．

2．证明反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \cos x^{2} \mathrm{~d} x$ 收敛但不绝对收敛．

3．证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0 & , x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 原点处可微，但偏导数不连续．

4．已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0,0<f^{\prime}(x) \leq 1$ ．求证：$\left(\int_{0}^{1} f(x) d x\right)^{2} \geq \int_{0}^{1} f^{3}(x) d x$

5．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{2}{4^{n}}$ 收玫。

1．给定函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}(n=2,3,4, \cdots)$ ．试求当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛？证明你的结论。

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微．
（1）若 $f(0)=0$ ，并 $\exists A>0$ ，使得：

$$
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq A|f(x)|, \forall x \in[0,+\infty)
$$

证明：$f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．
（2）若 $f^{\prime}(x) \equiv f(x), x \in[0,+\infty)$ ，试求 $f(x)$ ．