广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．给定函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}(n=2,3,4, \cdots)$ ．试求当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛？证明你的结论。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定逐点极限函数
对任意固定的 $x \ge 0$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x)$ 的极限。若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$；若 $x>0$，由于指数函数 $n^x$ 增长快于任何 $\ln n$ 的幂，有 $\frac{(\ln n)^\alpha}{n^x} \to 0$，乘以 $x$ 后仍趋于 $0$。因此逐点极限函数为 $f(x)=0$，$\forall x \ge 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad x \ge 0
提示：注意 $x=0$ 是特殊情况，需单独验证。
步骤 2/5
目标：将一致收敛问题转化为上确界极限问题
由于逐点极限为 $0$，一致收敛等价于 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\ge 0} |f_n(x)-0| = 0$。即需计算 $M_n = \sup_{x\ge 0} \frac{x (\ln n)^\alpha}{n^x}$。
公式：M_n = \sup_{x\ge 0} \frac{x (\ln n)^\alpha}{n^x}
提示：上确界的计算是核心步骤。
步骤 3/5
目标：求函数 $g_n(x)=x/n^x$ 的最大值
固定 $n$，$g_n(x)=\frac{x}{n^x}$，$x\ge 0$。求导得 $g_n'(x)=\frac{1 - x \ln n}{n^x}$。令导数为 $0$ 得 $x=1/\ln n$，此为极大值点。最大值 $g_n(1/\ln n) = \frac{1/\ln n}{n^{1/\ln n}} = \frac{1}{e \ln n}$，因为 $n^{1/\ln n}=e$。
公式：\max_{x\ge 0} \frac{x}{n^x} = \frac{1}{e \ln n}
提示：注意 $n^{1/\ln n}=e$ 是恒等式，需熟练运用指数与对数的转换。
步骤 4/5
目标：计算 $M_n$ 并分析极限条件
将最大值代入 $M_n$：$M_n = (\ln n)^\alpha \cdot \frac{1}{e \ln n} = \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}$。一致收敛要求 $\lim_{n\to\infty} M_n = 0$，即 $\lim_{n\to\infty} (\ln n)^{\alpha-1} = 0$，这等价于 $\alpha-1 < 0$，即 $\alpha < 1$。
公式：M_n = \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}
提示：指数 $\alpha-1$ 的正负决定极限行为，需严格区分。
步骤 5/5
目标：检查边界情况并给出结论
当 $\alpha = 1$ 时，$M_n = 1/e \not\to 0$，不一致收敛；当 $\alpha > 1$ 时，$(\ln n)^{\alpha-1} \to +\infty$，更不一致收敛。因此当且仅当 $\alpha < 1$ 时，函数列在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
公式：\text{一致收敛} \iff \alpha < 1
提示：边界情况 $\alpha=1$ 容易忽略，需单独验证。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。