广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．计算不定积分 $\displaystyle \int\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2} d x$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数
将原积分中的被积函数改写为 $\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 = \frac{(\ln x)^2}{x^2}$，因此原积分化为 $\int \frac{(\ln x)^2}{x^2} \, dx$。
公式：$\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 = \frac{(\ln x)^2}{x^2}$
提示：注意平方是针对整个分式，不要遗漏分母的平方。
步骤 2/6
目标：第一次分部积分：设 u 和 dv
令 $u = (\ln x)^2$，则 $du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2\ln x}{x} dx$；令 $dv = \frac{1}{x^2} dx$，则 $v = \int x^{-2} dx = -\frac{1}{x}$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时，选择 u 为对数函数，dv 为幂函数，便于降次。
步骤 3/6
目标：应用分部积分公式
代入公式得：$\int \frac{(\ln x)^2}{x^2} dx = (\ln x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{2\ln x}{x} dx = -\frac{(\ln x)^2}{x} + \int \frac{2\ln x}{x^2} dx$。
公式：$\int \frac{(\ln x)^2}{x^2} dx = -\frac{(\ln x)^2}{x} + 2\int \frac{\ln x}{x^2} dx$
提示：注意符号变化，负负得正。
步骤 4/6
目标：第二次分部积分：处理 $\int \frac{\ln x}{x^2} dx$
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$；令 $dv = \frac{1}{x^2} dx$，则 $v = -\frac{1}{x}$。代入公式得：$\int \frac{\ln x}{x^2} dx = \ln x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx$。
公式：$\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx$
提示：再次使用分部积分，注意 u 和 dv 的选取。
步骤 5/6
目标：计算简单积分并回代
计算 $\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C_1$，所以 $\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C_1$。代入第一次结果：$\int \frac{(\ln x)^2}{x^2} dx = -\frac{(\ln x)^2}{x} + 2\left(-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}\right) + C$。
公式：$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}$
提示：不要忘记积分常数，但最终合并为一个常数 C。
步骤 6/6
目标：合并并化简结果
合并得：$-\frac{(\ln x)^2}{x} - \frac{2\ln x}{x} - \frac{2}{x} + C = -\frac{1}{x}\left((\ln x)^2 + 2\ln x + 2\right) + C$。
公式：$-\frac{(\ln x)^2}{x} - \frac{2\ln x}{x} - \frac{2}{x} = -\frac{(\ln x)^2 + 2\ln x + 2}{x}$
提示：提取公因子 $-\frac{1}{x}$ 可简化表达式。
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