广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．求极限 $a_{n}=\sqrt[n]{2+x^{n}}, x>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将表达式写成指数形式
将 $a_n$ 写成指数形式：$a_n = (2 + x^n)^{1/n}$。
公式：a_n = (2 + x^n)^{1/n}
提示：注意指数形式便于后续处理，尤其是提取公因式。
步骤 2/5
目标：分情况讨论：x > 1
当 $x > 1$ 时，$x^n$ 增长很快，提取公因式 $x^n$：
$2 + x^n = x^n\left(1 + \frac{2}{x^n}\right)$，
则 $a_n = \left[x^n\left(1 + \frac{2}{x^n}\right)\right]^{1/n} = x \cdot \left(1 + \frac{2}{x^n}\right)^{1/n}$。
当 $n \to \infty$，$\frac{2}{x^n} \to 0$，且 $(1 + \text{小量})^{1/n} \to 1$，故极限为 $x$。
公式：a_n = x \cdot \left(1 + \frac{2}{x^n}\right)^{1/n}
提示：注意 $(1+\text{小量})^{1/n}$ 的极限为1，因为指数趋于0。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：x = 1
当 $x = 1$ 时，$a_n = (2 + 1^n)^{1/n} = 3^{1/n}$。
由于 $n \to \infty$ 时 $3^{1/n} \to 1$，故极限为 $1$。
公式：a_n = 3^{1/n}
提示：任何正数的 $1/n$ 次幂当 $n \to \infty$ 时都趋于1。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：0 < x < 1
当 $0 < x < 1$ 时，$x^n \to 0$，因此 $2 + x^n \to 2$，
于是 $a_n \to 2^{1/n} \to 1$。
公式：a_n \to 2^{1/n} \to 1
提示：注意 $x^n$ 趋于0，主要项是常数2。
步骤 5/5
目标：综合结论
综合以上三种情况，得到极限的分段形式：
- 若 $0 < x \le 1$，极限为 $1$；
- 若 $x > 1$，极限为 $x$。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 + x^n} = \begin{cases} 1, & 0 < x \le 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}
提示：注意 $x=1$ 包含在第一种情况中。
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