广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．已知 $f(x)=x^{2}$ ，
（1）证明：$f(x)$ 在 $[0, a](a>0)$ 上一致连续；
（2）证明：$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确一致连续的定义，为后续证明做准备。
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的定义是：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I, |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/6
目标：对 $f(x)=x^2$ 在闭区间 $[0,a]$ 上应用定义，进行放缩。
对于任意 $x_1, x_2 \in [0,a]$，计算差值的绝对值：$|f(x_1)-f(x_2)| = |x_1^2 - x_2^2| = |x_1 - x_2| \cdot |x_1 + x_2|$。由于 $x_1, x_2 \in [0,a]$，所以 $|x_1 + x_2| \leq 2a$，从而 $|f(x_1)-f(x_2)| \leq 2a |x_1 - x_2|$。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| \leq 2a |x_1 - x_2|
提示：放缩时注意利用区间有界性，这是闭区间上一致连续证明的关键。
步骤 3/6
目标：选取合适的 $\delta$，完成一致连续的证明。
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2a}$。则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)| \leq 2a \cdot \frac{\varepsilon}{2a} = \varepsilon$。这满足一致连续的定义，因此 $f(x)=x^2$ 在 $[0,a]$ 上一致连续。
公式：\delta = \frac{\varepsilon}{2a}
提示：注意 $a>0$，所以 $\delta$ 是正数；若 $a=0$ 则区间退化为一点，结论平凡成立。
步骤 4/6
目标：理解非一致连续的证明思路：构造反例点列。
要证明 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上非一致连续，需要找出一对点列 $x_n, y_n$，使得 $|x_n - y_n| \to 0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 不趋于 0，即存在某个固定的正数下界。
公式：\exists \varepsilon_0 > 0, \forall \delta > 0, \exists x, y \in [0,+\infty), |x-y| < \delta \text{ 但 } |f(x)-f(y)| \geq \varepsilon_0
提示：非一致连续的否定形式要准确：存在一个 $\varepsilon_0$，使得无论 $\delta$ 多小，都能找到两点距离小于 $\delta$ 但函数值差大于等于 $\varepsilon_0$。
步骤 5/6
目标：构造具体的点列并计算距离和函数值差。
取 $x_n = n$，$y_n = n + \frac{1}{n}$（$n \in \mathbb{N}^+$）。则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$（当 $n \to \infty$）。计算函数值差：$|f(x_n)-f(y_n)| = |n^2 - (n+\frac{1}{n})^2| = |n^2 - (n^2 + 2 + \frac{1}{n^2})| = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$。
公式：|x_n - y_n| = \frac{1}{n}, \quad |f(x_n)-f(y_n)| = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2
提示：构造点列时，通常选择 $x_n$ 趋于无穷，$y_n$ 与 $x_n$ 相差一个很小的量，使得函数值差因导数无界而保持较大。
步骤 6/6
目标：根据构造的点列得出非一致连续的结论。
取 $\varepsilon_0 = 1$（或任何小于 2 的正数），则对于任意 $\delta > 0$，只要取足够大的 $n$ 使得 $\frac{1}{n} < \delta$，就有 $|x_n - y_n| < \delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)| \geq 2 > 1 = \varepsilon_0$。因此，$f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上非一致连续。
公式：\forall \delta > 0, \exists n \in \mathbb{N}^+, \frac{1}{n} < \delta \text{ 且 } |f(n)-f(n+\frac{1}{n})| \geq 2
提示：注意 $\varepsilon_0$ 的选取要小于函数值差的下界（这里是 2），通常取 1 即可。
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