广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{2}{4^{n}}$ 收玫。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察通项结构并应用等价无穷小
通项为 $a_n = 3^n \sin\left(\frac{2}{4^n}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{2}{4^n} \to 0$，因此 $\sin\left(\frac{2}{4^n}\right) \sim \frac{2}{4^n}$。于是 $a_n \sim 3^n \cdot \frac{2}{4^n} = 2 \left(\frac{3}{4}\right)^n$。
公式：$\sin x \sim x \quad (x \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换的条件：自变量趋于0，且替换后需验证比较判别法的适用性。
步骤 2/4
目标：利用比较判别法的极限形式判断收敛性
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty 2\left(\frac{3}{4}\right)^n$，这是公比为 $\frac{3}{4} < 1$ 的等比级数，收敛。由极限形式的比较判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{2(3/4)^n} = 1$，故原级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 也收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \in (0,\infty)$，则 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散
提示：极限形式的比较判别法要求通项非负，此处 $a_n > 0$，满足条件。
步骤 3/4
目标：给出严格的不等式证明（可选）
当 $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ 时，有 $\frac{2}{\pi}x \le \sin x \le x$。取 $x = \frac{2}{4^n}$，则 $\sin\left(\frac{2}{4^n}\right) \le \frac{2}{4^n}$。于是 $0 \le a_n \le 3^n \cdot \frac{2}{4^n} = 2\left(\frac{3}{4}\right)^n$。由于 $\sum_{n=1}^\infty 2\left(\frac{3}{4}\right)^n$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。
公式：$\sin x \le x \quad (x > 0)$
提示：注意不等式 $\sin x \le x$ 对所有 $x \ge 0$ 成立，但下界不等式需注意定义域。
步骤 4/4
目标：总结收敛性结论
原级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{2}{4^{n}}$ 的通项为正，且被收敛的等比级数控制，因此该级数收敛。
提示：本题也可用根值判别法或比值判别法，但比较判别法更直接。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。