广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．计算积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域并选择变量代换
积分区域由曲线 $xy=1$, $xy=3$, $y^2=x$, $y^2=3x$ 围成。观察到这些曲线分别对应 $xy$ 和 $y^2/x$ 为常数，因此引入新变量：$u = xy$, $v = \frac{y^2}{x}$。此时边界变为 $u=1$, $u=3$, $v=1$, $v=3$，区域 $D$ 在 $(u,v)$ 坐标系下为矩形：$1 \le u \le 3$, $1 \le v \le 3$。
公式：u = xy, \quad v = \frac{y^2}{x}
提示：注意选择代换时，要使所有边界变为直线，且新变量范围简单。
步骤 2/5
目标：反解 $x,y$ 并计算雅可比行列式
由 $u=xy$ 和 $v=y^2/x$ 相乘得 $uv = y^3$，故 $y = (uv)^{1/3}$。代入 $u=xy$ 得 $x = u/y = u^{2/3}v^{-1/3}$。计算雅可比行列式：
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{2}{3}u^{-1/3}v^{-1/3} & -\frac{1}{3}u^{2/3}v^{-4/3} \\ \frac{1}{3}u^{-2/3}v^{1/3} & \frac{1}{3}u^{1/3}v^{-2/3} \end{vmatrix} = \frac{1}{3v}.$$
公式：x = u^{2/3}v^{-1/3}, \quad y = u^{1/3}v^{1/3}, \quad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{3v}
提示：计算雅可比时注意符号，最终取绝对值；$v>0$ 时绝对值可直接去掉。
步骤 3/5
目标：变换被积函数
原被积函数为 $\frac{3x}{y^2+xy^3}$。代入 $x = u^{2/3}v^{-1/3}$, $y = u^{1/3}v^{1/3}$：
分母：$y^2 = u^{2/3}v^{2/3}$, $xy^3 = u^{2/3}v^{-1/3} \cdot u v = u^{5/3}v^{2/3}$，故 $y^2+xy^3 = u^{2/3}v^{2/3}(1+u)$。
分子：$3x = 3u^{2/3}v^{-1/3}$。
因此被积函数化为 $\frac{3u^{2/3}v^{-1/3}}{u^{2/3}v^{2/3}(1+u)} = \frac{3}{v(1+u)}$。
公式：\frac{3x}{y^2+xy^3} = \frac{3}{v(1+u)}
提示：化简时注意指数运算的准确性，特别是 $xy^3$ 的指数合并。
步骤 4/5
目标：写出变换后的积分并计算
积分变换公式：$dxdy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du dv = \frac{1}{3v} du dv$。
因此：
$$I = \iint_D \frac{3x}{y^2+xy^3} dxdy = \int_{v=1}^3 \int_{u=1}^3 \frac{3}{v(1+u)} \cdot \frac{1}{3v} du dv = \int_{v=1}^3 \frac{1}{v^2} dv \cdot \int_{u=1}^3 \frac{1}{1+u} du.$$
分别计算：
$$\int_1^3 v^{-2} dv = \left[-v^{-1}\right]_1^3 = -\frac{1}{3}+1 = \frac{2}{3},$$
$$\int_1^3 \frac{du}{1+u} = \left[\ln(1+u)\right]_1^3 = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2.$$
故 $I = \frac{2}{3} \ln 2$。
公式：I = \int_1^3 \frac{1}{v^2} dv \cdot \int_1^3 \frac{1}{1+u} du = \frac{2}{3} \ln 2
提示：注意积分上下限对应新变量的范围，且积分可分离为两个独立定积分的乘积。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
积分结果为 $\frac{2}{3}\ln 2$。
公式：\boxed{\frac{2}{3}\ln 2}
提示：最终答案应化简为最简形式，对数保留自然对数形式。
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