广西民族大学 2023年数学分析第0题

球面方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\)，要求介于平面 \(z = a/4\) 与 \(z = a/2\) 之间的曲面面积。由于 \(z\) 为正，只涉及上半球面，表示为 \(z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\)。曲面面积公式为 \(S = \iint_D \sqrt{1 + (\partial z/\partial x)^2 + (\partial z/\partial y)^2} \, dx\, dy\)，其中 \(D\) 是曲面在 \(xy\) 平面上的投影区域。

由 \(z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\) 得偏导数：\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\)，\(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\)。则 \(1 + (\partial z/\partial x)^2 + (\partial z/\partial y)^2 = 1 + \frac{x^2 + y^2}{a^2 - x^2 - y^2} = \frac{a^2}{a^2 - x^2 - y^2}\)，所以 \(\sqrt{1 + (\partial z/\partial x)^2 + (\partial z/\partial y)^2} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\)。

由 \(z = a/4\) 得 \(x^2 + y^2 = a^2 - (a/4)^2 = 15a^2/16\)；由 \(z = a/2\) 得 \(x^2 + y^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4\)。投影区域 \(D\) 为圆环：\(\frac{3}{4}a^2 \le x^2 + y^2 \le \frac{15}{16}a^2\)。

令 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，则 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)，被积函数为 \(\frac{a}{\sqrt{a^2 - r^2}}\)。积分区域：\(\theta: 0 \to 2\pi\)，\(r: \frac{\sqrt{3}}{2}a \to \frac{\sqrt{15}}{4}a\)。面积 \(S = \int_0^{2\pi} d\theta \int_{r_1}^{r_2} \frac{a}{\sqrt{a^2 - r^2}} \, r\, dr\)。先对 \(r\) 积分：令 \(u = a^2 - r^2\)，\(du = -2r\,dr\)，则 \(\int \frac{a r}{\sqrt{a^2 - r^2}} dr = -a\sqrt{a^2 - r^2}\)。定积分 \(\int_{r_1}^{r_2} \frac{a r}{\sqrt{a^2 - r^2}} dr = \left[-a\sqrt{a^2 - r^2}\right]_{r_1}^{r_2} = -a\sqrt{a^2 - r_2^2} + a\sqrt{a^2 - r_1^2}\)。代入 \(r_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(r_2 = \frac{\sqrt{15}}{4}a\)，得 \(\sqrt{a^2 - r_2^2} = a/4\)，\(\sqrt{a^2 - r_1^2} = a/2\)，故积分值为 \(-a \cdot a/4 + a \cdot a/2 = a^2/4\)。再对 \(\theta\) 积分：\(S = \int_0^{2\pi} \frac{a^2}{4} d\theta = \frac{a^2}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi a^2}{2}\)。