广西民族大学 2023年数学分析第0题

对于参数曲线 $x = a(t - \sin t),\ y = a(1 - \cos t)$，计算导数：$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t),\ \frac{dy}{dt} = a \sin t$。于是 $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1 - \cos t)$。利用半角公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，得 $\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{4a^2 \sin^2\frac{t}{2}} = 2a \left|\sin\frac{t}{2}\right|$。在 $t \in [0, 2\pi]$ 上，$\sin\frac{t}{2} \ge 0$，故 $ds = 2a \sin\frac{t}{2}\, dt$。

被积函数 $y = a(1 - \cos t)$，代入 $ds$ 得 $\int_L y\, ds = \int_{t=0}^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot 2a \sin\frac{t}{2}\, dt = 2a^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t) \sin\frac{t}{2}\, dt$。

用半角公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，则 $(1 - \cos t)\sin\frac{t}{2} = 2\sin^2\frac{t}{2} \cdot \sin\frac{t}{2} = 2\sin^3\frac{t}{2}$。于是积分变为 $\int_L y\, ds = 2a^2 \int_0^{2\pi} 2\sin^3\frac{t}{2}\, dt = 4a^2 \int_0^{2\pi} \sin^3\frac{t}{2}\, dt$。

令 $u = \frac{t}{2}$，则 $t = 2u$，$dt = 2\, du$，当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=2\pi$ 时 $u=\pi$。于是 $\int_0^{2\pi} \sin^3\frac{t}{2}\, dt = \int_0^{\pi} \sin^3 u \cdot 2\, du = 2\int_0^{\pi} \sin^3 u\, du$。因此原积分 $\int_L y\, ds = 4a^2 \cdot 2 \int_0^{\pi} \sin^3 u\, du = 8a^2 \int_0^{\pi} \sin^3 u\, du$。

利用恒等式 $\sin^3 u = \sin u (1 - \cos^2 u)$，则 $\int_0^{\pi} \sin^3 u\, du = \int_0^{\pi} \sin u\, du - \int_0^{\pi} \sin u \cos^2 u\, du$。第一项：$\int_0^{\pi} \sin u\, du = [-\cos u]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2$。第二项：令 $v = \cos u$，则 $dv = -\sin u\, du$，当 $u=0$ 时 $v=1$，当 $u=\pi$ 时 $v=-1$，于是 $\int_0^{\pi} \sin u \cos^2 u\, du = \int_{1}^{-1} v^2 (-dv) = \int_{-1}^{1} v^2\, dv = \left[\frac{v^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$。所以 $\int_0^{\pi} \sin^3 u\, du = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。

将 $\int_0^{\pi} \sin^3 u\, du = \frac{4}{3}$ 代入 $\int_L y\, ds = 8a^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{3}a^2$。