广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．证明反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \cos x^{2} \mathrm{~d} x$ 收敛但不绝对收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：通过变量代换将原积分转化为更容易处理的形式
令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$。当 $x=1$ 时 $t=1$，当 $x\to +\infty$ 时 $t\to +\infty$。于是原积分化为：
$$\int_{1}^{+\infty} \cos(x^2) \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos t}{2\sqrt{t}} \, dt$$
公式：$$\int_{1}^{+\infty} \cos(x^2) \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos t}{2\sqrt{t}} \, dt$$
提示：注意代换后积分限的变化，以及微分表达式的正确性。
步骤 2/5
目标：证明原积分收敛
考虑积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos t}{2\sqrt{t}} \, dt$。应用Dirichlet判别法：
- 函数 $\cos t$ 的原函数 $\sin t$ 在任意有限区间上有界（$|\sin t| \le 1$）；
- 函数 $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且趋于 $0$。
因此该积分收敛，从而原积分 $\int_{1}^{+\infty} \cos(x^2) \, dx$ 收敛。
公式：Dirichlet判别法：若 $f$ 的原函数有界，$g$ 单调趋于0，则 $\int fg$ 收敛。
提示：注意 $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ 的单调性和极限条件，不要遗漏有界性条件。
步骤 3/5
目标：将绝对值的积分转化为类似形式
考虑绝对收敛性，即 $\int_{1}^{+\infty} |\cos(x^2)| \, dx$。同样做代换 $t = x^2$，得到：
$$\int_{1}^{+\infty} |\cos(x^2)| \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos t|}{2\sqrt{t}} \, dt$$
公式：$$\int_{1}^{+\infty} |\cos(x^2)| \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos t|}{2\sqrt{t}} \, dt$$
提示：绝对值在代换中保持不变，注意被积函数的形式。
步骤 4/5
目标：利用不等式放缩证明绝对值积分发散
利用不等式 $|\cos t| \ge \cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，得到：
$$\frac{|\cos t|}{2\sqrt{t}} \ge \frac{1}{4\sqrt{t}} + \frac{\cos 2t}{4\sqrt{t}}$$
右边第一项 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{4\sqrt{t}} \, dt$ 发散（因为 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{t^{1/2}} dt$ 发散，指数 $1/2 \le 1$）。第二项 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2t}{4\sqrt{t}} \, dt$ 由Dirichlet判别法收敛（$\cos 2t$ 有界，$\frac{1}{\sqrt{t}}$ 单调递减趋于0）。发散部分加上收敛部分仍发散，故绝对值积分发散。
公式：$$|\cos t| \ge \frac{1+\cos 2t}{2}$$ 以及 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} dt$ 发散。
提示：注意放缩的方向：要证明发散，需找到发散的下界；同时要确认第二项确实收敛。
步骤 5/5
目标：得出结论
原积分 $\int_{1}^{+\infty} \cos(x^2) \, dx$ 收敛，但其绝对值积分 $\int_{1}^{+\infty} |\cos(x^2)| \, dx$ 发散，因此该反常积分条件收敛（即收敛但不绝对收敛）。
公式：无
提示：条件收敛的定义：积分收敛但绝对值积分发散。
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