广西民族大学 2023年数学分析第0题

由偏导数定义，先求 $f_x(0,0)$： $$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin\frac{1}{h^2}}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h^2}=0,$$ 因为 $|h\sin(1/h^2)|\le |h|\to 0$。同理，由对称性得 $f_y(0,0)=0$。

需验证可微定义： $$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.$$ 代入 $f(h,k)=(h^2+k^2)\sin\frac{1}{h^2+k^2}$ 和 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，得 $$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{(h^2+k^2)\sin\frac{1}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k)\to (0,0)}\sqrt{h^2+k^2}\sin\frac{1}{h^2+k^2}.$$ 由于 $|\sin(\cdot)|\le 1$，有 $\left|\sqrt{h^2+k^2}\sin\frac{1}{h^2+k^2}\right|\le\sqrt{h^2+k^2}\to 0$，故极限为0，满足可微条件。

当 $(x,y)\neq (0,0)$ 时，令 $r^2=x^2+y^2$，则 $f(x,y)=r^2\sin(1/r^2)$。对 $x$ 求偏导： $$f_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(r^2\sin\frac{1}{r^2}\right)=2x\sin\frac{1}{r^2}+r^2\cos\frac{1}{r^2}\cdot\left(-\frac{2x}{r^4}\right)=2x\sin\frac{1}{r^2}-\frac{2x}{r^2}\cos\frac{1}{r^2}.$$ 同理， $$f_y = 2y\sin\frac{1}{r^2}-\frac{2y}{r^2}\cos\frac{1}{r^2}.$$

考虑沿 $x$ 轴趋于原点，即取 $y=0$，$x\to 0$，则 $r=|x|$，有 $$f_x(x,0)=2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2x}{x^2}\cos\frac{1}{x^2}=2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}.$$ 当 $x\to 0$ 时，第一项 $2x\sin(1/x^2)\to 0$，但第二项 $-\frac{2}{x}\cos(1/x^2)$ 无极限（例如取 $x_n=\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}$，则 $\cos(1/x_n^2)=1$，该项趋于 $-\infty$；取 $x_n=\frac{1}{\sqrt{(2n+1)\pi}}$，则 $\cos(1/x_n^2)=-1$，该项趋于 $+\infty$）。因此 $\lim_{x\to 0}f_x(x,0)$ 不存在，故 $f_x$ 在原点不连续。同理 $f_y$ 也不连续。