广西民族大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微．
（1）若 $f(0)=0$ ，并 $\exists A>0$ ，使得：
$$
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq A|f(x)|, \forall x \in[0,+\infty)
$$
证明：$f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．
（2）若 $f^{\prime}(x) \equiv f(x), x \in[0,+\infty)$ ，试求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并求导
令 $h(x) = f(x)^2$，则 $h(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可微，且 $h(0) = f(0)^2 = 0$。对 $h(x)$ 求导得：$h'(x) = 2f(x)f'(x)$。
公式：h(x) = f(x)^2, \quad h'(x) = 2f(x)f'(x)
提示：注意 $f(x)$ 可微，因此 $h(x)$ 也可微，且 $h(0)=0$ 是已知条件的关键。
步骤 2/5
目标：利用已知不等式估计 $h'(x)$
由条件 $|f'(x)| \le A|f(x)|$，代入 $h'(x)$ 的表达式得：$|h'(x)| = 2|f(x)||f'(x)| \le 2|f(x)| \cdot A|f(x)| = 2A f(x)^2 = 2A h(x)$。因此有 $h'(x) \le 2A h(x)$ 和 $h'(x) \ge -2A h(x)$。
公式：|h'(x)| \le 2A h(x)
提示：绝对值不等式放缩时要注意 $f(x)^2 = h(x)$，不要遗漏系数2。
步骤 3/5
目标：应用微分不等式推导单调性
考虑不等式 $h'(x) \le 2A h(x)$。两边乘以积分因子 $e^{-2Ax}$，得到：$h'(x)e^{-2Ax} - 2A h(x)e^{-2Ax} \le 0$，即 $\frac{d}{dx}\left( h(x) e^{-2Ax} \right) \le 0$。这说明函数 $\phi(x) = h(x) e^{-2Ax}$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调不增。
公式：\frac{d}{dx}\left( h(x) e^{-2Ax} \right) \le 0
提示：积分因子法常用于处理形如 $y' \le ky$ 的不等式，注意符号方向。
步骤 4/5
目标：利用初始条件推出 $h(x) \equiv 0$
由于 $\phi(x)$ 单调不增，且 $\phi(0) = h(0)e^{0} = 0$，因此对任意 $x \ge 0$，有 $\phi(x) \le \phi(0) = 0$。但 $\phi(x) = h(x)e^{-2Ax} \ge 0$（因为 $h(x) \ge 0$），所以只能 $\phi(x) = 0$，从而 $h(x) = 0$ 对所有 $x$ 成立，即 $f(x) \equiv 0$。
公式：0 \le h(x)e^{-2Ax} \le 0 \Rightarrow h(x) \equiv 0
提示：注意 $h(x) \ge 0$ 是由平方定义自然得到的，不要忽略非负性。
步骤 5/5
目标：求解微分方程 $f'(x) = f(x)$
对于第二部分，方程为 $f'(x) - f(x) = 0$。乘以积分因子 $e^{-x}$ 得：$f'(x)e^{-x} - f(x)e^{-x} = 0$，即 $\frac{d}{dx}\left( f(x) e^{-x} \right) = 0$。积分得 $f(x)e^{-x} = C$，其中 $C$ 为任意常数。因此 $f(x) = C e^{x}$。
公式：\frac{d}{dx}\left( f(x) e^{-x} \right) = 0 \Rightarrow f(x) = C e^{x}
提示：这是最简单的一阶线性齐次微分方程，注意积分常数 $C$ 由初始条件确定，但题目未给初始值，故保留为任意常数。
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