广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \ln \cos \sqrt{x}}{3^{x^{2}}-2^{-x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断极限类型并初步分析
当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1+x) \ln \cos \sqrt{x}$ 和分母 $3^{x^{2}} - 2^{-x^{2}}$ 均趋于 $0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式，适合使用等价无穷小替换进行化简。
提示：注意 $x \to 0$ 时 $\ln(1+x) \sim x$，$\cos \sqrt{x}$ 需展开到二阶。
步骤 2/6
目标：处理分子中的 $\ln(1+x)$
当 $x \to 0$ 时，有等价无穷小：$\ln(1+x) \sim x$。
公式：\ln(1+x) \sim x \quad (x \to 0)
提示：直接使用等价无穷小替换，注意 $x$ 可正可负。
步骤 3/6
目标：处理分子中的 $\ln \cos \sqrt{x}$
令 $t = \sqrt{x}$，当 $x \to 0^+$ 时 $t \to 0$。利用 $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，得 $\cos \sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$。于是 $\ln \cos \sqrt{x} = \ln\left(1 - \frac{x}{2} + o(x)\right) \sim -\frac{x}{2}$。
公式：\ln \cos \sqrt{x} \sim -\frac{x}{2} \quad (x \to 0^+)
提示：注意 $\sqrt{x}$ 要求 $x \to 0^+$，但极限 $x \to 0$ 通常默认从右侧考虑，因为 $\sqrt{x}$ 在负数无定义。
步骤 4/6
目标：合并分子等价无穷小
将前两步结果相乘：$\ln(1+x) \ln \cos \sqrt{x} \sim x \cdot \left(-\frac{x}{2}\right) = -\frac{x^2}{2}$。
公式：\ln(1+x) \ln \cos \sqrt{x} \sim -\frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)
提示：注意乘积的等价无穷小替换需确保各自替换后仍为无穷小且乘积有意义。
步骤 5/6
目标：处理分母 $3^{x^2} - 2^{-x^2}$
利用指数函数展开：$3^{x^2} = e^{x^2 \ln 3} = 1 + x^2 \ln 3 + \frac{x^4 (\ln 3)^2}{2} + \cdots$，$2^{-x^2} = e^{-x^2 \ln 2} = 1 - x^2 \ln 2 + \frac{x^4 (\ln 2)^2}{2} - \cdots$。相减得：$3^{x^2} - 2^{-x^2} = (1 + x^2 \ln 3 + \cdots) - (1 - x^2 \ln 2 + \cdots) = x^2 (\ln 3 + \ln 2) + o(x^2) = x^2 \ln 6 + o(x^2)$。因此分母等价于 $x^2 \ln 6$。
公式：3^{x^2} - 2^{-x^2} \sim x^2 \ln 6 \quad (x \to 0)
提示：注意 $\ln 3 + \ln 2 = \ln 6$，且展开时保留到 $x^2$ 项即可。
步骤 6/6
目标：代入极限并计算
将分子和分母的等价无穷小代入原极限：$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2 \ln 6} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2 \ln 6} = -\frac{1}{2 \ln 6}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2 \ln 6} = -\frac{1}{2 \ln 6}
提示：约去 $x^2$ 时注意 $x \neq 0$，极限过程 $x \to 0$ 不影响。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。