📝 广西民族大学 2025年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \ln \cos \sqrt{x}}{3^{x^{2}}-2^{-x^{2}}}$ ．

2．设 $0<\alpha<1$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right]$ ．

3．计算第二型曲线积分 $I=\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线的一段：$y=x^{2},-1 \leq x \leq 1$ ，方向由点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ ．

4．计算 $I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \sin x^{2} \cos y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

5．设 $\Sigma$ 是椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in \Sigma, \Pi$ 是 $\Sigma$ 在 $P$ 点的切平面，$\rho(x, y, z)$ 是 $O(0,0,0)$ 到平面 $\Pi$ 的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, x)} \mathrm{d} S$ ．

6．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n-3^{2 n}}$ 的收玫域．

1．设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，$f(-1)=f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=1$ ．

2．设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}, n=1,2$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ ．

3．设 $a_{n} \geq 0(n=1,2,3$,$\displaystyle ) ，证明：级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)\left(1+a_{n}\right)}$ 收玫。

4．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(x) \leq 0, f^{\prime}(x) \geq 0$ ．若 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：

$$
2 \int_{0}^{1} F(t) \mathrm{d} t \leq F(x) \leq x F(1), x \in(0,1) .
$$

5．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

1．证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 的偏导数存在，但在此点不
可微。

2．（1）证明函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上不一致连续．
（2）计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

一、计算题（每小题 10 分，共 6 小题，共 60 分）

三、综合题（每小题 20 分，共 2 小题，共 40 分）

二、证明题（每小题 10 分，共 5 小题，共 50 分）