广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $0<\alpha<1$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限的直观趋势
考虑幂函数 $f(x)=x^\alpha$，其中 $0<\alpha<1$。当 $n$ 很大时，$n^\alpha$ 的增长速度逐渐减慢，相邻整数点上的函数值之差 $(n+1)^\alpha - n^\alpha$ 可能会趋于零。我们需要用严谨的方法证明这个极限为 $0$。
提示：注意指数小于1时，幂函数是凹函数，增长越来越慢，这有助于直观理解差值的衰减。
步骤 2/5
目标：应用拉格朗日中值定理
令 $f(x)=x^\alpha$，它在区间 $[n, n+1]$ 上连续且可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n \in (n, n+1)$ 使得
\[
f(n+1)-f(n) = f'(\xi_n) \cdot 1
\]
由于 $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}$，代入得
\[
(n+1)^\alpha - n^\alpha = \alpha \xi_n^{\alpha-1}
\]
公式：(n+1)^\alpha - n^\alpha = \alpha \xi_n^{\alpha-1}, \quad \xi_n \in (n, n+1)
提示：中值定理将差值与导数联系起来，是处理此类差值极限问题的常用技巧。
步骤 3/5
目标：估计中值点处导数的范围
因为 $0<\alpha<1$，所以 $\alpha-1<0$，函数 $x^{\alpha-1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。由 $n < \xi_n < n+1$ 可得
\[
n^{\alpha-1} > \xi_n^{\alpha-1} > (n+1)^{\alpha-1}
\]
两边乘以正数 $\alpha$ 得
\[
\alpha n^{\alpha-1} > \alpha \xi_n^{\alpha-1} > \alpha (n+1)^{\alpha-1}
\]
即
\[
\alpha (n+1)^{\alpha-1} < (n+1)^\alpha - n^\alpha < \alpha n^{\alpha-1}
\]
公式：\alpha (n+1)^{\alpha-1} < (n+1)^\alpha - n^\alpha < \alpha n^{\alpha-1}
提示：注意指数为负时，不等式方向会反转，这是易错点。
步骤 4/5
目标：计算夹逼两端的极限
由于 $\alpha-1<0$，当 $n \to \infty$ 时，$n^{\alpha-1} \to 0$，因此
\[
\lim_{n \to \infty} \alpha n^{\alpha-1} = 0
\]
同理，$(n+1)^{\alpha-1} \to 0$，所以
\[
\lim_{n \to \infty} \alpha (n+1)^{\alpha-1} = 0
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \alpha n^{\alpha-1} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \alpha (n+1)^{\alpha-1} = 0
提示：这里用到了幂函数在指数为负时的极限性质。
步骤 5/5
目标：由夹逼准则得出极限值
由夹逼准则，介于两个趋于零的量之间的 $(n+1)^\alpha - n^\alpha$ 也趋于零，即
\[
\lim_{n \to \infty} \left[(n+1)^\alpha - n^\alpha\right] = 0
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \left[(n+1)^\alpha - n^\alpha\right] = 0
提示：夹逼准则是处理极限问题的有力工具，需要确保不等式方向正确。
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