广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将级数通项拆分为两部分
原级数的通项为 $(-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2}$。将其拆分为两个部分：
$$
(-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2} = (-1)^n \frac{x^2}{n^2} + (-1)^n \frac{1}{n}
$$
因此原级数可表示为两个级数的和：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
$$
公式：(-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2} = (-1)^n \frac{x^2}{n^2} + (-1)^n \frac{1}{n}
提示：拆分后要分别处理，注意每一项的收敛性可能不同。
步骤 2/5
目标：分析第二个级数（常数项级数）的收敛性
第二个级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，这是一个交错调和级数。由莱布尼茨判别法，因为 $\frac{1}{n}$ 单调递减趋于 $0$，所以该级数收敛（条件收敛）。由于该级数与 $x$ 无关，它在任何区间上都是一致收敛的。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \quad \text{收敛（莱布尼茨判别法）}
提示：常数项级数的一致收敛性自动成立，因为其和函数与 $x$ 无关。
步骤 3/5
目标：分析第一个级数的绝对收敛性
第一个级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2}{n^2}$。对任意固定的 $x$，其绝对值项为 $\frac{x^2}{n^2}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p$-级数，$p=2>1$），故该级数绝对收敛。
公式：\left| (-1)^n \frac{x^2}{n^2} \right| = \frac{x^2}{n^2} \leq \frac{M}{n^2} \quad (M = \max_{x \in [a,b]} x^2)
提示：绝对收敛是后续使用 Weierstrass M-判别法的基础。
步骤 4/5
目标：用 Weierstrass M-判别法证明第一个级数一致收敛
在闭区间 $[a, b]$ 上，$x^2$ 有最大值，记 $M = \max_{x \in [a,b]} x^2$。则对任意 $x \in [a,b]$，有
$$
\left| (-1)^n \frac{x^2}{n^2} \right| \leq \frac{M}{n^2}
$$
而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M}{n^2}$ 收敛（与 $x$ 无关），由 Weierstrass M-判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2}{n^2}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：\left| (-1)^n \frac{x^2}{n^2} \right| \leq \frac{M}{n^2}, \quad \sum \frac{M}{n^2} \text{ 收敛}
提示：Weierstrass M-判别法要求找到一个与 $x$ 无关的收敛优级数。
步骤 5/5
目标：合并两个一致收敛级数，得出结论
第一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2}{n^2}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，第二个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是常数项级数，也一致收敛。两个一致收敛的级数之和仍然一致收敛，因此原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2}$ 在任意闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
提示：一致收敛级数的和函数仍一致收敛，这是函数项级数的基本性质。
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